1.5.3 二阶电路分析的的基本方法
二阶电路：用二阶微分方程描述的动态电路。
在二阶电路中，给定的初始条件应有两个，它们由储能元件的初始值决定。
RLC串联电路和GLC并联电路为最简单的二阶电路。
一．二阶电路及其方程 二阶电路微分方程的一般形式：
d2y?t?dy?t?a?b?cy?t??kx?t? 2dtdt1. 二阶电路零输入响应的形式
??iuSuR-RC?-uLL-iSiiRLiLiCRC
图5 图6
-u?C（1）R 、L、C串联电路的零输入响应电路微分方程为：
d2y?t?dy?t?LC?RC?y?t??02 dtdtR 、L、C并联电路的零输入响应电路微分方程为：
d2y?t?Ldy?t?LC??y?t??02dtRdt
?RR21s???()??112L2LLC? s1 s2? ?LC?s??R?(R)2?12?2L2LLC?s1,2??RR21R1R2?()????j?()????j? 2L2LLC2LLC2L其中 ??R1R21 , ???()??02??2, ?0?2LLC2LLC上述二阶齐次微分方程的特征根为
2S1,2?????2??0 ,根据?和?0的相对大小，特征
根有三种情况，对应的响应也有三种情况。
（1）过阻尼情况，即当R?2L,称为非振荡衰减放电过程，此时???0，特征根为两个不C相等的负实根，电路微分方程解的形式为：
y?t??k1eS1t?k2eS2t
式中S1?0,S2?0，k1、k2是由初始条件决定的积分常数。 （2）欠阻尼情况，R?222?????0即
L，称为衰减振荡放电过程，此时???0，特征根为一对共轭复数，C称为振荡角频率，微分方程解的形式为：
y?t??ke??tsin(?t??)
（3）临界阻尼情况，R?2微分方程解的形式为：
L，称为临界振荡。此时???0，特征根为两个相等的负实数。Cy?t???k1?k1t?e?t
说明：
（1）电路响应属于哪一种完全取决于电路的结构和元件的参数，而与电路的初始储能和激励无关；
（2）过阻尼情况称为非振荡放电过程，指在暂态过程中不会出现电场能与磁场能量交换的情况，即L、C两个储能元件一直处于放电状态。
（3）在欠阻尼时，将发生能量交换的情况，即在某一时刻电容中的部分电场能转化为磁场能储存于电感之中，而在另一时刻，电感中的部分磁场能转化为电场能储存于电容之中。
（4）在欠阻尼情况下，若电路中R?0，则电路的响应为：
y?t??ksin(?t??)
二．一般二阶电路的零输入响应
（1）含有L、C元件的二阶电路，响应可有过阻尼、临界阻尼、欠阻尼三种情况； （2）只含有L元件或只含有C元件的二阶电路，响应只有过阻尼情况； （3）
小结：（1）非振荡电路（过阻尼情况），R?2L C（2）振荡衰减电路（欠阻尼情况），R?2LR?2（3）临界振荡电路：C L C小结与提示：分析二阶动态电路，主要是列写电路的微分方程，并根据初始条件求解微分方程从而得到电路解得方法，即经典分析法。经典分析法的步骤是：
（1） 按环路后的电路列写微分方程； （2） 求微分方程的特解，即稳态分量； （3） 求微分方程得补函数，即暂态分量；
（4） 按照换路定律确定暂态过程的初始值，从而定出积分常数。
例6. 电路如图所示。开关闭合前电路已得到稳态，求换路后的瞬间，电容的电压和各支路的电流。 【解】各支路电流及电容电压如图示。 t?0?时：uc(0?)?12V
t?0?时：根据换路定律，uc(0?)?uc(0?)?12Vuc(0?)12??6mAR22根据欧姆定律、KCL、KVL：i2(0?)?12?uc(0?)12?12 i1(0?)???0 ic(0?)??i2(0?)??6mA
例7．电路如图所示。开关闭合前电路已得到稳态，求换路后的电流i(t)。
R14
60?0.24A?iL(0?)100?15060uC(0?)?*100?24V?uC(0?)100?150换路后形成两个独立回路，均为零输入响应。iL(0?)?uC(t)?uC(0?)eiC(t)?C?t?1?24e?t?1?24e?t100*20*10?6?24e?500tduC??0.24e?500tdttt
17. 第一章第五节：简单动态电路的时域分析(二)
