学科 教案
章节 课题 课的类型 第二章第4节 平面向量的数量级 新授课 教学方法 课时数 第几课时 2 主备人 1 讲课时间 45分钟 观察分析、教具 三角板、投影仪 类比归纳 教学目标 知识与技能：（1）通过物理中“功”等实例理解平面向量数量积的含义和物理意义 （2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系 （3）掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 （4）了解平面向量的数量积可以处理长度、角度和垂直的问题。 过程与方法：（1）通过物理中“功”等实例引出向量数量积的概念 （2）运用几何直观引导学生理解定义的实质 （3）进一步结合具体例题，加强对数量积性质的运用 情感、态度与价值观：对本课采用探究性学习，初步尝试数学研究的过程， 的能力，有助于发展我们的创新意识。 学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及线性运算，具备了功等物理知识，相对于线性运算而言，数量学情分析 积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的，因而本节课教学的难点在于数量积的概念。 教学重点 平面向量的数量积定义、性质的理解和应用 教学难点 平面向量的数量积定义及平面向量数量积的运用 教 学 过 程 设 计（内含学法指导内容） 教学内容 教师活动 学生活动 二次备课 学生回答 教师提问 学生回忆功的概念及计已知两个非零向量，作,，则出示投影 强调：求向量的算公式 ∠AOB=θ（）叫做向量的夹角 夹角，应保证两学生回答 个向量有公共起学生回忆夹当时同向； 点，若没有，须角定义，得当时垂直，记为； 平移 出结论 当时反向 提问学生 学生分析 一、 情境引入 引导学生观察并=我们学习过功的概念，一个物体在力的作发现，为向量，W为标量，从向量的用下产生位移（如图） 为夹角 终点往做则力所做的功W可用下式计算 从力所做的功出垂线。 发，我们引入学生回答 W=，其中夹角 “数量积”的概学生板书 三、讲授新课 念 学生思考并 （一）平面向量数量积的定义 思考1：向量的数尝试 已知两个非零向量，它们量积与向量加减学生板书 法及数乘运算的学生分三组的夹角为，我们把数量叫做的区别是什么？ 讨论 数量积（或內积），记做，即思考2：既然向量一组（1）、的数量积是一个（2） =。 数量，那么它的二组（3） 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即正负由谁决定三组（4） 呢？ 派代表回答 。 学生二次回注：①中间的“”不可省略，也不可用定义中的 忆，有学生“×”代替； 那一部分长度？说，老师板②数量积的结果是一个数量，而不是向量。 如果没有该如何书 作出， θ为锐角时，﹥0； 学生分析回思考：方向答不等 θ为直角时，=0，反之亦成立； 上的投影该如何学生板书θ为钝角时，﹤0. （1） 作出 分析定义： 学生板书 教师提问 集体回答 教师引导提示，投影的概念：叫做向量上面的投夹角须起点相学生板书 影。 同，若不同，须学生思考 的几何意义：等于与在方向上的平移 学生回答 公式的运用及θ两名学生板投影的乘积。 1、 向量的概念及加减、数乘运算。 2、 向量的夹角的定义。 （二）、例题讲解 的范围 书 教师巡视并给予学生思考 例1：已知=5，=4，的夹角 指导 学生集体回教师板书 答 θ=，求。 引导学生回答 学生集体回答 解：==5×4×cos 、如何求 带领学生简单口 =5×4×()=-10 述， 变式一：已知等边三角形ABC的边长为2，求验证（1），（2） 第（3）个学生感解：平移，则的夹角为 兴趣自己证明。 θ= 思考：∴==2×2×cos=-2 教师提问 提醒学生不可落变式二：设=12，=9，=-，求掉“· ” 口头叙述证明的夹角。 （2） 教师提问 解：∵= 教师巡视，指出∴12×9×=- 不规范之处。 教师提问 教师巡视 ∴==- 教师提问 ∴θ= 引导学生回忆探（三）探究：向量数量积的性质 究过的性质，并（1） （判断两向量垂直进一步做答。 的依据） 教师提示 教师板书 （2）当同向时，=； 教师引导回忆 当反向时，，； （3）≤ =； ， （4）=。 总结如何求向量的模 (四)数量积的运算律 （1）（2）（3）=== =+ 。 其中、、是任意三个向量，注： 为数，为数， 方向与相同， 方向与相同。 = （2 ）例2：求证：（1） = 证明：（1）== 例3：已知θ=，求（1）（2）解：（1） = = =6， = =4，的夹角 = =-72 （2）= ===44 例4：已知=3， =4，判断向量与的位置关系。 解：=∴互相垂直。 变式一：若与=0 不共线，则k为何值时，向量= 互相垂直？ 解：若与垂直，则有 =0 ∴∴∴k=∴k= 时，与与。 =0 互相垂直。 互相垂=0 即 变式三：若向量直，且解：∵∴∴五、课堂练习 思考：已知θ=，求=6，和，求=4，。 的夹角为
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