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1.已知向量a=（-4，7），向量b=（5，2），则a·b的值是（ ）
A.34 B.27 C.-43 D.-6 思路解析：依数量积的坐标运算法则解答此题.a·b=-4×5+7×2=-6. 答案：D
2.已知向量a=（2，1），b=（3，x），若（2a-b）⊥b，则x的值是（ ）
A.3 B.-1 C.-1或3 D.-3或1 思路解析：欲求x的值，只需建立关于x的方程，由条件（2a-b）⊥b?（2a-b）·b=0，即可得出x的方程.∵（2a-b）⊥b，∴（2a-b）·b=2a·b-b2=2×2×3+2×1×x-32-x2=0.整理，得x2-2x-3=0，解得x=-1或3. 答案：C
3．若向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且|b|=35，则b等于（ ） A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3) 思路解析：由题意，b与a共线，再结合|b|=35，列出关于b的坐标的方程，即可解出. 方法一：设b=λ(-1,2)，且λ＞0，有(-λ)2+(2λ)2=(35)2?b=(-3，6).
方法二：由题意可知，向量a、b共线且方向相反.故可由方向相反排除B，C；由共线可知b=-3a. 答案：A
4．(2006天津高考卷，文12)设向量a与b的夹角为θ，且a=(3,3),2b-a=(-1,1)，则cosθ=________________. 思路解析：由题意，得b=
11a+(-1,1)=（1,2），则a·b=9，|a|=32，|b|=5， 22∴cosθ=
a?b310. ?|a||b|10答案：
310 105.已知a=（1，2），b=（1，1），c=b-ka，若c⊥a，则c=_________________.
思路解析：根据a和b的坐标、c的坐标，利用垂直建立关于k的方程，求出k后可得向量c. 答案：（
21,?） 556.已知a=（3，-1），b=（1，2），x·a=9与x·b=-4，向量x的坐标为_______________.
思路解析：待定系数法，设出向量x的坐标，利用所给两个关系式得到关于坐标的方程组，
?x?a?9?3t?s?9?t?2,再求解.设x=（t，s），由? ????x?b??4t?2s??4s??3.???答案：（2，-3）
7.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2），
（1）若|c|=25，且c∥a，求c的坐标；
（2）若|b|=
5，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角θ. 2思路分析：（1）欲求向量c，同前面的题目类似，可以设出向量c的坐标，然后建立c的坐标方程，可得解法一.另外注意到c∥a，故存在实数λ，使c=λa，则|c|=|λa|，即|λ|=求出λ，也就能求出c，得解法二. （2）欲求a与b的夹角θ，可根据cosθ=
|c|.故可|a|a?b来求cosθ，然后再求θ.故只需求出ab和|a||b|
|a||b|即可.由题意易知|a||b|，关键是求a·b.又有a+2b与2a-b垂直，故可以得到（a+2b）·（2a－b）=0.进一步可求出a·b的值. （1）解法一：设c=（x，y）.
∵|c|=25，∴x2?y2=25，即x2+y2=20. ① 又c∥a，∴2x－y=0. ②
?x?2,?x??2,由①②可得?或?
y?4y??4,??即向量c的坐标为（2，4）或（-2，-4）.
解法二：∵c∥a，故可设c=λa， 则|λ|=
|c|25=2. ?|a|5∴λ=±2.
即向量c的坐标为（2，4）或（-2，-4）. （2）解：∵a=（1，2），∴|a|=5.
又|b|=
55，故|a||b|=. 22又∵（a+2b）⊥（2a-b），
∴（a+2b）·（2a-b）=0，即2a2+3a·b-2b2=0. ∴2×5+3a·b-2×=0，a·b=?545. 25a?b∴cosθ=?2??1.
5|a||b|2?又θ∈［0，π］， ∴θ=π，
即a与b的夹角为π.
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8.已知a=（3，4），b=（4，3），求实数x、y的值使（xa+yb）⊥a，且|xa+yb|=1.
思路分析：首先写出（xa+yb）的坐标，再根据它与向量a垂直和模为1列出方程组，从而解得x和y的值. 解：由a=（3，4），b=（4，3），有xa+yb=（3x+4y，4x+3y）. ∵（xa+yb）⊥a， ∴（xa+yb）·a=0.
∴3（3x+4y）+4（4x+3y）=0， 即25x+24y=0.① 又∵|xa+yb|=1,
∴（3x+4y）2＋（4x+3y）2=1. 整理得25x2＋48xy+25y2=1.②
2424??x?,x??,????3535由①②联立方程组，解得?和?
?y??5?y?5.?7?7??9.(2006全国高考卷Ⅱ，理17)已知向量a=(sinθ，1)，b=(1，cosθ)，-
??＜θ＜. 22（1）若a⊥b，求θ；
（2）求｜a＋b｜的最大值.
思路分析：利用定义直接求得θ.把点的坐标代入｜a＋b｜，先化简再求最值. 解：（1）∵a⊥b， ∴sinθ＋cosθ=0. ∴tanθ=-1(-∴θ=???＜θ＜). 22?. 4（2）∵a=(sinθ，1)，b=(1，cosθ)， ∴a+b=(sinθ+1，1+cosθ).
∴｜a+b｜=(sin??1)?(1?cos?) =3?2(sin??cos?)?223?22sin(???4).
?)=1时，|a＋b|取得最大值， 4?即当θ=时，|a＋b|的最大值为2?1.
4当sin(θ+
10.平面上有两个向量e1=(1,0)，e2=(0,1)，今有动点P，从P0(-1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e1+e2|，另一动点Q，从点Q0(-2,-1)出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1+2e2|.设P，Q在t=0分别在P0,Q0处，则当PQ⊥P0Q0时，t=___________秒.
思路解析：用t表示出PQ，列出方程即可求解. ∵P0(-1,2),Q0(-2,-1),∴P0Q0=(-1,-3).
又∵e1+e2=(1,1),∴|e1+e2|=2.∵3e1+2e2=(3,2),∴|3e1+2e2|=13. ∴当t时刻时,点P的位置为(-1+t,2+t),点Q的位置为(-2+3t,-1+2t). ∴PQ=(-1+2t,-3+t).∵P0Q0⊥PQ, ∴(-1)×(-1+2t)+(-3)×(-3+t)=0.∴t=2. 答案：2
11.(2006湖北黄冈模拟，16)平面直角坐标系内有点P(1,cosx)、Q(cosx， 1),x∈［?(1)求向量OP和向量OQ的夹角θ的余弦值；
(2)令f(x)=cosθ，求f(x)的最小值. 思路分析：（1）直接用夹角公式即可求得；（2）利用换元法，再利用函数的单调性求出最小值.
解：(1)由题意，得OP=(1,cosx),OQ=(cosx,1).
∴OP·OQ=2cosx，|OP|=1?cos2x，|OQ|=1?cos2x. ∴cosθ=??,］. 44OP?OQ|OP||OQ?2cosx. 21?cosx∴向量OP和向量OQ的夹角θ的余弦值为（2）由(1)得f(x)=
2cosx. 21?cosx2cosx??,x∈［,］, ?441?cos2x设t=cosx,则
222t
≤t≤1.∴f(t)=，≤t≤1. 221?t222t≤t≤1时，f(t)=是增函数. 221?t
可以证明当
222?22. ∴f(x)的最小值是f()=
32221?()22?
数学北师大必修自主训练：平面向量数量积的坐标表示 含解析
