第九讲 最大最小问题
第一部分：趣味数学
短跑比赛
加特林和格林都是短跑名将。有一天,他们俩进行百米短跑比赛,结果当格林跑到90米的地方时,加特林刚好冲过了终点。格林不服气,说:“其实我们也就差了10米。如果你比我多跑10米的话,我们肯定一起冲过终点。”加特林同意了格林的建议。令格林吃惊的是,当加特林冲过110米的终点的时候,自己还没有跑到百米的终点呢!格林只好甘拜下风。
请你想一想,第二次格林为什么又输了呢?
原来如此：根据速度=路程÷时间,假设第一次比赛的时候,所用的中间是加特林的速度就是100÷101而格林的速度只有90÷100=0.9.第二次比赛,加特林跑110米用的时间是110÷100=
11101110
,而格林跑100米用的时间是100÷90= 。比较 和 这两个数的大小,仍然是加特109109
林用的时间少,所以加特林赢。 第二部分：习题精讲
专题简析：
人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
例题1：
人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
a和b是小于100的两个不同的自然数，求
a－b
的最大值。 a+b
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99
a－b99－149
的最大值是 = a+b99+150
1
a－b49答： 的最大值是 。
a+b50练习1：
1.设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数，求
x－y
的最大值。 x+y
2.a和b是小于50的两个不同的自然数，且a＞b，求
a－b
的最小值。 a+b
x+y
的最大值；②求x－y
3.设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且x＞y，①求x+y
的最小值。 x－y
例题2：
22
有甲、乙两个两位数，甲数 等于乙数的 。这两个两位数的差最多是多少？
73
22
甲数：乙数= ： =7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量最
37大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56
答：这两个两位数的差最多是56。 练习2：
34
1.有甲、乙两个两位数，甲数的 等于乙数的 。这两个两位数的差最多是多少？
10551
2.甲、乙两数都是三位数，如果甲数的 恰好等于乙数的 。这两个两位数的和最小是多
64少？
3.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？
例题3：
2
如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？
在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以减去78，因此，这样的数对共有78+1＝79个。
答：这样的数对共有79个。 练习3：
1.两个四位数的差是8921。这两个四位数的和的最大值是多少？
2.如果两个三位数的和是525，就说这两个三位数组成一个数对。那么这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的差最小是多少？最大是多少？
3.如果两个四位数的差是3456，就说这两个数组成一个数对。那么，这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？
例题4：
三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114。这三个数中最小的是多少？
因为：最大数×中间数－最小数×中间数＝114，即：（最大数－最小数）×中间数＝114 而三个连续自然数中，最大数－最小数＝2，因此，中间数是114÷2＝57，最小数是57－1＝56
答：最小数是56。 练习4：
1.三个连续的奇数，后两个数的积与前两个数的积之差是252。三个数中最小的数是______。
2.a、b、c是从小到大排列的三个数，且a－b＝b－c，前两个数的积与后两个数的积之差是280。如果b＝35，那么c是_____。
6510
3.被分数 ， ， 除得的结果都是整数的最小分数是______。
71421例题5：
三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是2886。求所有这样的6个三位
3
数中的最小的三位数。
因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。所以，2886÷222能得到三个数字的和。
设三个数字为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为
abc+acb+bac+bca+cab+cba
＝（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2 ＝（a+b+c）×222 ＝2886 即a+b+c＝2886÷222＝13
答：所有这样的6个三位数中，最小的三位数是139。 练习5：
1.有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是3108。所有这样的6个三位数中最大的一个是多少？
2.有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是2220。所有这样的6个三位数中最小的一个是多少？
3.用a、b、c能组成6个不同的三位数。这6个三位数相加的和是2886。已知a、b、c三个数字中，最大的数字是最小数字的2倍，这6个三位数中最小的数是多少？
第三部分：数学史
代数之父一韦达
16世纪末,法国和西班牙正在打仗。西班牙军队使用复杂的密码来传递消息,即使信件被敌人发现,也不明白是什么意思。有一次,法国军队截获了一些秘密的信件,据推测是西班牙军队的重要调动情报,可是就是没有办法破译密码。无奈之下,法军将领请来了当时著名的数学家韦达。韦达经过番艰苦的研究,终于揭开了密码的奥秘。从此以后,法国军队对敌人的动态了如指掌,总是能够先敌一步作出正确的决定,因此逐渐掌握了战争的主动权,两年后就战胜了西班牙。西班牙人非常恼火,他们断定法国人使用了某种魔法。韦达的努力,为自己祖国的胜利做出了重要的贡献。
在破译密码的时候,韦达很受启发。他想,密码是大家事先约定好的一套符号,在数学中,为什么我们不可以借助这样的做法呢?数学家们可以用约定好的符号来表示特定的意
4
思,这样书写、计算的时候就方便多了。在这样的思想引导下,韦达进行了深入的研究,他不但用字母来表示数,还用字母来表示方程中的系数,例如一次方程可以表示为ax+b=0,在那个时候,这是一种非常具有开拓性的方法。
韦达的贡献使他赢得了“代数之父”的美誉,后世的数学家们在他的基础上,不断地完善代数的符号体系。直到今天,数学还在发展,它的语言还在不断丰富之中。
参考答案：
练习1：1. 991101 2. 97 3. 练习2：1.甲、乙两数的比是8：3，甲数最大是 （1）399 （2）96 ，差最大是60。
5
201
199
2.甲、乙两数的比是3：10，甲数最小是102，和最小是442。 3.一、二、三道工序所需的工人数的比是＝59个工人。
练习3：1.9999+（9999－8921）＝11077
2.较小的数最大是（521－1）÷2＝262，100～262共有163个自然数,所以共有163对,两个数的差最大是525－100－100＝325
3.数对共有9999－3456－1000+1＝5544个，两个数的和最大是9999－3456+9999＝16542，两个数的和最小是1000+3456+1000＝5456
练习4：1.最大数－最小数＝4 中间数＝252÷4＝63 最小数＝63－2＝61
2.根据题意可得（a－c）×b＝280，进而可以推出a－c＝280÷b＝280÷35＝8，所以，c＝35－8÷2＝31
3.所求的分数，它的分子是6，5，10的最小公倍数，分母是7，14，21的最大公约数，所以答案是
30
。 7
111
： ： ＝14：21：24，所以至少安排14+21+24483228
练习5：1.符合题意的三个数字之和是3108÷222＝14，因此，所有这样的6个三位数中最大的一个是941（三个数字不能有0，否则就不能排出6个不同的三位数）。
2.三个数字的和是2220÷222＝10，最小的一个是127。 3.最小的数是346。
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[精品奥数]六年级下册数学思维训练讲义-第九讲 最大最小问题 人教版（含答案）
