[基础题组练]
1．(2020·浙江省名校联考)已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x y 1 124.4 2 33 3 －74 4 24.5 5 －36.7 6 －123.6 则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( ) A．2个 C．4个
B．3个 D．5个
解析：选B.依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．
2．(2020·温州十校联考(一))设函数f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0，1) C．(2，3)
B．(1，2) D．(3，4)
解析：选B.法一：因为f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，所以f(1)·f(2)<0，因为函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．
法二：函数f(x)的零点所在的区间为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数f(x)的零点所在的区间为(1，2)．
1?3．已知函数f(x)＝??2?－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为( ) A．1 C．3
x
x
B．2 D．4
1?解析：选C.作出g(x)＝??2?与h(x)＝cos x的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.
1??－π A．大于1 C．小于0 B．大于0 D．不大于0 x 1??－π，π?上也是减函数， 解析：选B.y1＝?是减函数，y＝－tan x在2?e??22?1??－π，π?上单调递减． 可知f(x)＝?－tan x在?e??22?因为0 5．(2020·兰州模拟)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( ) 1 A. 47C．－ 8 1B. 83D．－ 8 x x 解析：选C.因为函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0?f(2x2＋1)＝－f(λ－x)?f(2x2＋1)＝f(x－λ)?2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x7 ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－.故选C. 8 |x| 6．(2020·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f(x)＝－kx2(k∈R)有四个不同的零点， x＋2则实数k的取值范围是( ) A．k<0 C．0 B．k<1 D．k>1 |x| 解析：选D.分别画出y＝与y＝kx2的图象如图所示， x＋2 |x| 当k<0时，y＝kx2的开口向下，此时与y＝只有一个交点，显然不符合题意； x＋2|x| 当k＝0时，此时与y＝只有一个交点，显然不符合题意， x＋2当k>0，x≥0时， |x| 令f(x)＝－kx2＝0， x＋2即kx3＋2kx2－x＝0， 即x(kx2＋2kx－1)＝0， 即x＝0或kx2＋2kx－1＝0， 1 因为Δ＝4k2＋4k>0，且－<0，所以方程有一正根，一负根，所以当x>0时，方程有唯 k一解．即当x≥0时，方程有两个解． |x| 当k>0，x<0时，f(x)＝－kx2＝0， x＋2即kx3＋2kx2＋x＝0，kx2＋2kx＋1＝0， 此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k2－4k>0，解得k>1， 综上所述k>1. π??tan[（x－1）]，0 π??tan[（x－1）]，0 2解析：因为f(x)＝?， ??ln x，x>1所以f(e)＝ln e＝1， f(f(e))＝f(1)＝tan 0＝0， π 若0 2方程无解； 若x>1，f(x)＝1?ln x＝1?x＝e. 答案：0 e 2 8．已知函数f(x)＝x＋a的零点为1，则实数a的值为________． 3＋121 解析：由已知得f(1)＝0，即1＋a＝0，解得a＝－. 23＋11 答案：－ 2 x??2，x≤0，1 9．已知函数f(x)＝?则函数g(x)＝f(x)－的零点所构成的集合为________． 2?|log2x|，x>0，? x≤0，?x>0，???12 解析：令g(x)＝0，得f(x)＝，所以?x1或?解得x＝－1或x＝或x＝1222＝|log2x|＝，??22?? ??12 2，故函数g(x)＝f(x)－的零点所构成的集合为?－1，，2?. 22?? 答案：?－1，? ? ?2 ，2? 2? 10．(2020·杭州学军中学模拟)已知函数f(x)＝|x3－4x|＋ax－2恰有2个零点，则实数a的取值范围为________． 解析：函数f(x)＝|x3－4x|＋ax－2恰有2个零点即函数y＝|x3 －4x|与y＝2－ax的图象有2个不同的交点．作出函数y＝|x3－4x|的图象如图，当直线y＝2－ax与曲线y＝－x3＋4x，x∈[0，2]相切 3 时，设切点坐标为(x0，－x30＋4x0)，则切线方程为y－(－x0＋4x0) ＝(－3x20＋4)(x－x0)，且经过点(0，2)，代入解得x0＝1，此时a＝－1，由函数图象的对称性可得实数a的取值范围为a<－1或a>1. 答案：a<－1或a>1 11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)． (1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点； (2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1. 所以函数f(x)的零点为3和－1. (2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0?a2－a<0，解得0 [综合题组练] x??e－2（x≤0） 1．(2020·杭州市富阳二中高三质检)已知函数f(x)＝?，则下列关于函数y ?ln x（x>0）? ＝f[f(kx)＋1]＋1(k≠0)的零点个数的判断正确的是( ) A．当k>0时，有3个零点；当k<0时，有4个零点 B．当k>0时，有4个零点；当k<0时，有3个零点 C．无论k为何值，均有3个零点 D．无论k为何值，均有4个零点 解析：选C.令f[f(kx)＋1]＋1＝0得， ???f（kx）＋1≤0，?f（kx）＋1>0 ?（）＋?或， fkx1－2＋1＝0?ln[f（kx）＋1]＋1＝0?e?? 1解得f(kx)＋1＝0或f(kx)＋1＝； e由f(kx)＋1＝0得， ??kx>0?kx≤0，???或； ?ln（kx）＝－1?ekx－2＋1＝0?? 1 即x＝0或kx＝； e 1 由f(kx)＋1＝得， e kx>0kx≤0，???? ?kx1； 1或? ln（kx）＋1＝e－2＋1＝??ee?? 1 1 即e＝1＋(无解)或kx＝ee－1； e kx 1 综上所述，x＝0或kx＝或kx＝ee－1； e故无论k为何值，均有3个解，故选C. 2．(2020·宁波市高三教学评估)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R且a>0)，则 1 ?－b??<0”是“f(x)与f(f(x))都恰有两个零点”的( ) “f?f??2a?? A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.由已知a>0，函数f(x)开口向上，f(x)有两个零点，最小值必然小于0，当取bbbbb －?<0，令f(x)＝－，则f(f(x))＝f?－?，因为f?－?<0，得最小值时，x＝－，即f??2a??2a??2a?2a2a ?b??<0?f?－b?<0?x＝－b，因为x＝－所以f(f(x))<0，所以f(f(x))必有两个零点．同理f?f??2a???2a?2a bb －?<0，必有两个零点所以C选项正确． 是对称轴，a>0，开口向上，f??2a?2a 3．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x的不等式x2＋|x－a|<2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是________． 解析：不等式为2－x2>|x－a|，则0<2－x2. 在同一坐标系画出y＝2－x2(y≥0，x≥0)和y＝|x|两个函数图象，将绝对值函数y＝|x|向左移动，当右支经过(0，2)点时，a＝－2；将绝对值函数y＝|x|向右移动让左支与抛物线y＝2－x2(y≥0，x≥0)相切时， ??y－0＝－（x－a） 由?，可得x2－x＋a－2＝0， 2?y＝2－x? 9再由Δ＝0解得a＝. 4 9－2，?. 数形结合可得，实数a的取值范围是?4??9 －2，? 答案：?4?? ?g（x），f（x）≤g（x），?1? ?4．已知函数f(x)＝?，g(x)＝logx，记函数h(x)＝则函数1?2??f（x），f（x）>g（x），?2 x
2021版浙江新高考数学一轮复习：第二章 8 第8讲 函数与方程
