2。3变换的复合与矩阵的乘法.

本文由chenjiweihua贡献 doc文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 高中数学湘教版选修 4－2 教案 §2.3 变换的复合与矩阵的乘法 教学目标: 教学目标: 一、知识与技能： 通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义；掌握二阶矩阵的乘法法则 ，并能运用几何 图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律 二、方法与过程 借助实例的探究，引入复合变换，寻求二阶矩阵的乘法法则，发现矩阵乘法不满足交换律；通 过具体情境的观察、类比、探索、交流和反思等数学活动，培养学生的创新意识，使学生掌握研究 问题的方法，从而学会学习体会从具体到抽象再到具体的思想方法。 三、情感、态度与价值观 新旧知识的联结，潷学生的求知欲及进一点探索的乐趣。 教学重点: 教学重点:二阶矩阵乘法法则及运用 教学难点： 教学难点：说明矩阵乘法不满足交换律 难点 教学过程 一、复习引入： 复习引入： 1、基本概念 ?a b? （1）二阶矩阵：由四个数 a ， b ， c ， d 排成的正方形数表 ? ? c d ? 称为二阶矩阵。特别地， ? ? ? 称二阶矩阵 ? ? 0 0? ?1 0? ? 为零矩阵，简记为 0。称二阶矩阵 ? ? ? 0 1 ? 为二阶单位矩阵，记为 E 2 。 ? ? 0 0? ? ? ? x? ? y? （2） 向量： （ x , y ） 向量 是一对有序数对，x , y 叫做它的两个分量， 且称 ? ? 为列向量， x , y ） （ ? ? 为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。 2、几类特殊线性变换及其二阶矩阵 （1）线性变换 在平面直角坐标系中，把形如 ? x ` = ax + by （其中 a ， b ， c ， d 为常数）的几何变换叫做线性 y ` = cx + dy ? 变换。 （2）旋转变换 福建省霞浦第六中学 郑卿 第 1页 高中数学湘教版选修 4－2 教案 x ` = x cos α ? y sin α ? cos α 坐标公式为 ? ` ，变换对应的矩阵为 ? ? sin α ? ? y = x sin α + y cos α （3）反射变换 ①关于 x 的反射变换坐标公式为 ? sin α ? ? cos α ? ? x` = x ?1 0 ? 对应的二阶矩阵为 ? ? 0 ?1? ； ? ` ? ? ?y = ?y ?x ` = ?x ? ?1 0? 对应的二阶矩阵为 ? ? 0 1? ； ? ` ? ? ?y =y ②关于 y 的反射变换坐标公式为 ? x ` = y ?0 1? ③关于 y = x 的反射变换坐标公式为 ? ` 对应的二阶矩阵为 ? ?1 0? ； ? ? ? ?y = x （4）伸缩变换 坐标公式为 ? x ` = k1 x ? k1 对应的二阶矩阵为 ? ` ?0 ? ? y = k2 y 0? ?； k2 ? ? （5）投影变换 x` = x ?1 0? 对应的二阶矩阵为 ? ①投影在 x 上的变换坐标公式为 ? ` ? 0 0? ； ? ? ? ?y = 0 ②投影在 y 上的变换坐标公式为 ? x` = 0 ? 0 0? 对应的二阶矩阵为 ? ?0 1? ? ` ? ? ?y = y （6）切变变换 x ` = x + sy ? 1

s ? ?1 0? 对应的二阶矩阵为 ? ①平行于 x 轴的切变变换坐标公式为 ? ? 0 1? ? s 1 ? ?? ? ` ? ?? ? ? y =y ②平行于 y 轴的切变变换坐标公式为 ? x` = x ?1 0? 对应的二阶矩阵为 ? ? s 1? ? y ` = sx + y ? ? ? x1 ? ? x2 ? ?a b? 3、定理 1 设 A＝ ? ? c d ? ， X 1 = ? y ? ， X 2 = ? y ? ， t ， k 是实数。则以下公式成立： ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2? （1） A（ t X 1 ）＝ t （A X 1 ） （2） A X 1 ＋A X 2 ＝A（ X 1 ＋ X 2 ） （3） A（ t X 1 ＋ k X 2 ）＝ t A X 1 ＋ k A X 2 4、定理 2 可逆的线性变换具有如下性质： （1）直线仍变成直线； 福建省霞浦第六中学 郑卿 第 2页 高中数学湘教版选修 4－2 教案 （2）将线段仍变成线段 （3）将平行四边形变成平行四边形 二、新课讲解 新课讲解 例 1 设平面上建立了直角坐标系。如图所示，交每个点 P（ x , y ）先绕原点? 逆时针方向旋转角 α 到 P `（ x ` ， y ` ） ， 再从 P （ x ，y ） 绕原点? 逆时针旋转角 β 到 P （ x ，y ） 。 ` ` ` `` `` `` 写出由（ x , y ）计算（ x ， y ）的关系式。由 P （ x , y ）到 `` `` P `` （ x `` ， y `` ）的变换能否用矩阵表示？如果能，写出表示这 个变换的矩阵。 解法一：由旋转变换可知 x ` = x cos α ? y sin α ? ` ? y = x sin α + y cos α ? x `` = x ` cos β ? y ` sin β ? `` ` ` ? y = x sin β + y cos β 将（1）代入（2） ，经过整理得 ? （1） （2） x `` = x cos(α + β ? y sin(α + β `` ? y = x sin(α + β + y cos(α + β `` `` 因此，从 P （ x , y ）到 P （ x ， y ）的变换矩阵可以用 ? ? sin(α + β ? `` cos(α + β ? sin(α + β ? ? 来表示， cos(α + β ? ? 它就是绕原点沿逆时针方向旋转角 α + β 的变换 解法二：先绕原点沿逆时针方向旋转角，再绕原点沿逆时针方向旋转角 β ，总的效果是直接将 每个点 P （ x , y ）绕原点沿逆时针方向旋转角 α + β 到 P `` （ x ， y `` ） ，由旋转变换可知，这个变 `` 换可以用矩阵 ? ? cos(α + β ? sin(α + β ? ? 来表示 ? ? sin(α + β cos(α + β ? 一般地， A， 是平面上的两个变换， 设 B 将平面上每个点 P 先用变换 A 变到 P ` ， 再用变换 B 将 P ` 变到 P `` ，则从 P 到 P `` 也是平面上的一个变换，称为 A，B 的复合变换，也称为 B 与 A 的乘积，记 作 BA。 ` （ 注意： 为里先施行变换 A， 后施行变换 B， 但它们的复合变换要记作 BA。 原因是： P ＝A P ） 将 福建省霞浦第六中学 郑卿 第 3页 高中数学湘教版选修 4－2 教案 代入 P ＝B（ P ）得到 P ＝B（A（ P ），因此，写为 P ＝BA（ P ）较为合理，A 在 B 的右边， ）

首先接触 P ，它先作用于 P 得到 A（ P ）之后再用 B 从左边作用于 A（ P ）得到 BA（ P ） 例2、 设平面上建立了直角坐标系，变换 A，B 可分别用 A＝ ? ? ` ` ` `` ` `` `` a1 ? c1 ` b1 ? ?a ? 和 B＝ ? 2 ? ?c d1 ? ? 2 ` ` `` b2 ? ?表 d2 ? ? `` ，再用变换 B 将 P （ x ， y ）变到 P （ x ， 示将每个点 P （ x , y ）先用变换 A 变到 P （ x ， y ） y `` ） 。复合变换 BA 是否能用矩阵表示？如果能，写出变换 BA 的矩阵 x ` = a1 x + b1 y ? x `` = a 2 x ` + b2 y ` 解：将 ? ` 代入 ? `` 经过整理得： ` ` ? y = c1 x + d1 y ? y = c2 x + d 2 y ? x `` = (a1 a 2 + b2 c1 x + (a 2 b1 + b2 d1 y ? `` ? y = (c 2 a1 + d 2 c1 x + (c 2 b1 + d 2 d1 y `` `` 所以从 P （ x , y ）到 P （ x ， y ）的变换矩阵 BA 可以用矩阵 ? ? `` a1 a 2 + b2 c1 ? c 2 a1 + d 2 c1 a 2 b1 + b2 d1 ? ?表 c 2 b1 + d 2 d1 ? ? 示 x ` ? ? a1 将变换写成矩阵式 ? ` ? ＝ ? ? y ? ?c ? ? ? 1 得? ? b1 ? ? d1 ? ? x? ? ? ? y? ? ? x? ? ? ? y? ? ? x `` ? ? a 2 ? `` ? ＝ ? ? y ? ?c ? ? ? 2 b2 ? ? x ` ? ?? ? d2 ? ? y` ? ?? ? x `` ? ? a 2 ? ＝? ? `` ? ? y ? ? c2 b2 ? ? a1 ?? d 2 ? ? c1 ?? b1 ? ? d1 ? ? x `` ? ? a1 a 2 + b2 c1 ? `` ? ＝ ? ? y ? ?c a + d c 2 1 ? ? ? 2 1 由此得 ? ? a 2 b1 + b2 d1 ? ? c 2 b1 + d 2 d1 ? ? x? ? ? ? y? ? ? a2 ? c2 b2 ? ? a1 ?? d 2 ? ? c1 ?? b1 ? ? a1 a 2 + b2 c1 ? ＝? d1 ? ? c 2 a1 + d 2 c1 ? ? ? a1 ? c1 a 2 b1 + b2 d1 ? ? c 2 b1 + d 2 d1 ? ? b2 ? ? ，我们规定它们的乘积 d2 ? ? 对任意两个 2×2 矩阵 A＝ ? ? b1 ? ?a ? 和 B＝ ? 2 ? ?c d1 ? ? 2 BA＝ ? ? a1 a 2 + b2 c1 ? c 2 a1 + d 2 c1 a 2 b1 + b2 d1 ? ? c 2 b1 + d 2 d1 ? ? 按照这规定，假如变换 B，A 的矩阵分别是 B，A，则复合变换 BA 的矩阵是两变换矩阵的乘积 BA。要理解和记忆公式所表示的矩阵乘法法则，先学会行向量（ a, b ）与列向量 ? ? 的乘法法则： ? ? c? ?d ? 福建省霞浦第六中学 郑卿 第 4页 高中数学湘教版选修 4－2 教案 （ a, b ） ? ? ＝ ac + bd ? ? 这个规则就是：将行向量的两个数与列向量的两个数分别对应相乘，再将所得的乘积相加。 再来看两个 2×2 矩阵的乘法规则： 将矩阵 B＝ ? ? c? ?d ? a2 ? c2 b2 ? ?a ? 的第 i 行 i ＝1， 与矩阵 A＝ ? 1 （ 2） ? ?c d2 ? ? 1 b1 ? ? d1 ? ? 的第 j 列（ j ＝1，2） 、相乘得到一个数，得到的就是矩阵 BA 的第 i 行第 j 列的数。 练习： 例 3、平面上建立了直角坐标系，直线 l1 ， l 2 经过原点 O 倾斜角分别是 α ， β ，设变换 A，B （1）变换 A，B 的复合变换 BA 的矩阵； （2）变换 B，A 的 分别表示关于直线 l1 ， l 2 的反射变换，

求： 复合变换 AB 的矩阵； （3）根据矩阵说明 BA，AB 是什么变换，这两个变换是否相同。 解： （1）设 A，B 的矩阵分别是 A＝ ? ? cos 2α ? sin 2α ? cos 2 β ? sin 2 β sin 2α ? ? cos 2 β ? ， B＝ ? ? sin 2 β ? cos 2α ? ? ? sin 2 β ? ? cos 2α ?? ? cos 2 β ? ? sin 2α ?? sin 2 β ? ? ? cos 2 β ? ? BA＝ ? ? sin 2α ? ? ? cos 2α ? ? ＝? ? cos 2( β ? α ? sin 2( β ? α ? ? ? ? sin 2( β ? α cos 2( β ? α ? 这表示绕原点沿逆时针旋转角 2( β ? α （2）AB＝ ? ? cos 2α ? sin 2α sin 2α ? ? ? cos 2α ? ? cos 2 β ? ? sin 2 β ? sin 2 β ? ? cos 2(α ? β ? sin 2(α ? β ? ?＝? ? ? cos 2 β ? ? sin 2(α ? β cos 2(α ? β ? ? ? ? 这表示绕原点沿逆时针旋转角 2(α ? β （3）变换 BA 与变换 AB 的旋转角 2( β ? α 与 2(α ? β 正好相反，当 2( β ? α ≠ π 时，这两个 旋转是不相同的，也就是说 AB ≠ BA 这说明：变换的乘法与矩阵的乘法都不满足交换律 练习 ：计算 三、课堂练习 ? 1 2 ? ? 1 ? 1? 1、计算（1） ? ?3 4? ?0 4 ? ?? ? ? ?? ? 福建省霞浦第六中学 郑卿 （2） ? ? 0 ? ?0 1? ? 3 ?? ? ? ? 2 ? 3? ? ? 2 4? ? ? 第 5页 高中数学湘教版选修 4－2 教案 2、在直角坐标系内，分别求下列向量先经过旋转变换逆时针转 30 ，再经过矩阵 ? ? 0 1 2? ? 对应的 ? ?0 1? 切变变换所得的结果。 （1） ? ? ? ? 1? ?0? （2） ? ? ? ? x? ? y? 3、已知 M1＝ ? 1 ?0 ? 0? ?1 0 ? 1 ? ，试求 M1 M2，并对其几何意义给予解释。 1 ? 和 M2＝ ? ?0 ? ? 2? 3? ? 四、小结 1、设 A，B 是平面上的两个变换，将平面上每个点 P 先用变换 A 变到 P ` ，再用变换 B 将 P ` 变到 P ，则从 P 到 P 也是平面上的一个变换，称为 A，B 的复合变换，也称为 B 与 A 的乘积，记 作 BA。 `` `` a1 2、A＝ ? ?c ? 1 ?a BA＝ ? 2 BA＝ ? ? c2 b1 ? ?a ? 和 B＝ ? 2 ? ?c d1 ? ? 2 b2 ? ? a1 ?? d 2 ? ? c1 ?? b2 ? ? d2 ? ? a 2 b1 + b2 d1 ? ? c 2 b1 + d 2 d1 ? ? 即 AB ≠ BA b1 ? ? a1 a 2 + b2 c1 ? ＝? d1 ? ? c 2 a1 + d 2 c1 ? ? 3、变换的乘法与矩阵的乘法都不满足交换律 四、课后作业： 课后作业： 课本 41 页 教学反思： 教学反思： 习题 3 1,2 福建省霞浦第六中学 郑卿 第 6页 1