4.1.1 圆的标准方程
【教学目标】
１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题
２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．
３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．
【教学重难点】
教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程． 教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题． 【教学过程】
（一）情景导入、展示目标
前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？ 1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．
2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？
圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．
（二）检查预习、交流展示
求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 求曲线方程的一般步骤为：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9
(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程； (4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程； (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少． （三）合作探究、精讲精练
探究一：如何建立圆的标准方程呢？ 1．建系设点
由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
2．写点集
根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}． 3．列方程
由两点间的距离公式得：4．化简方程
222
将上式两边平方得： (x-a)+(y-b) =r (1)
方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程． 探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？
这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x+y=r． 教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．
例1 写出下列各圆的方程：(请三位同学演板)
222(1)圆心在原点，半径是3；
(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
解析：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程． 解：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；
点评： 圆的标准方程与圆心坐标、半径长密切相关，应熟练掌握． 变式训练１： 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)
(1)(x-3)2+(y-2)2=5； (2)(x+4)2+(y+3)2=7； (3)(x+2)2+ y2=4
答案：(1) 圆心是(3,2),半径是5；(2) 圆心是(－４,－３),半径是7；(3) 圆心是(－２,０),半径是２．
例２ (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
解析：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决；分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．
解：(1) 解法一：(学生口答)
设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：
又由两点间的距离公式得：
∴所求圆的方程为：(x-5)+(y-6)=10 解法二：(给出板书)
22∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．
化简得：x2+y2-10x-12y+51=0．
即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程． 解(2)：(学生阅读课本) 分别计算点到圆心的距离：
因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内． 点评：1．求圆的方程的方法 (1)待定系数法，确定a，b，r； (2)轨迹法，求曲线方程的一般方法． 2．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d，圆半径为r： (1)点在圆上 (2)点在圆外 (3)点在圆内
d=r； d＞r； d＜r．
变式训练２：求证：以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．
证明：略．
（四）反馈测试 导学案当堂检测
（五）总结反思、共同提高
1．圆的方程的推导步骤；
2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径； 3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．
【板书设计】
探究一：圆的标准方程 1．建系设点 2．写点集 3．列方程 4．化简方程
探究二：圆的方程形式特点 例1 变式训练１ 例２ 变式训练２ 课堂小结 【作业布置】
导学案课后练习与提高
学校--临清实高 学科--数学 编写人—刘肖 审稿人--周静 4.１.1 圆的标准方程
课前预习学案
一．预习目标
回忆圆的定义，初步了解用方程建立圆的标准方程． 二．预习内容
1：圆的定义是怎样的？
2：圆的特点是什么？
三．提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
山东省临清实验高中高中数学 4.1.1圆的标准方程教案 新人教A版必修2
