弹性固体的并式微结构模型及孤立波
张 静,那仁满都拉
【摘 要】〔摘 要〕依据Mindlin微结构理论，建立了并式微结构弹性固体的一种新的非线性模型，此模型包含宏观尺度上的线性和非线性效应以及两种不同微尺度上的线性和非线性效应.用数值方法求解此非线性模型，给出了并式微结构弹性固体中可能存在的一种非对称钟型与反钟型孤立波. 【期刊名称】内蒙古民族大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2016(031)001 【总页数】4
【关键词】〔关键词〕微结构固体；并式微尺度；孤立波
近年来，对微结构固体材料的研究越来越引起了人们的关注.这主要是因为这种材料内特征尺度问题引起的微尺度频散效应和微尺度非线性效应.对于微结构固体材料，人们提出了若干的理论，并对微结构固体中波传播的问题进行了一些研究.在文〔1～5〕中建立了微结构固体的单尺度模型,并根据此模型证明了微结构固体中可存在对称和非对称孤立波〔6-7〕，文〔8〕证明了微结构固体中的非光滑孤立波.然而，在研究中发现固体材料的复杂微结构特性需要用多个尺度来描述.在文〔9～12〕中建立了微结构弹性固体的两种不同微尺度模型.但这些模型主要考虑了固体材料的宏观尺度线性效应和非线性效应以及微尺度线性效应（即频散效应），未考虑微尺度非线性效应.
本文根据Mindlin微结构弹性固体理论，将建立包含宏观尺度线性和非线性效应以及并式微尺度线性和非线性效应的并式微结构弹性固体的一种新模型，并将用数值方法〔13〕分析可能形成的孤立波.
1 模型的建立
对于具有两种不同尺度微结构的弹性固体，可用两种内部变量?和ψ来描述，其一维运动方程为〔8,9〕
上式中v是宏观位移，σ是宏观应力，ρ是宏观密度，?和ψ表示两种不同尺度的微形变，η1和η2表示相应的两种微应力，τ1和τ2表示两种相互作用力，I1和I2表示两种微惯性.这里考虑的两种不同尺度微结构是并列存在的，其微结构示意图如图1所示.
根据Mindlin和Engelbrecht等的微结构弹性固体理论，并式微结构弹性固体的自由能的最简单形式可取为
这里α，β，A1，B1，C1，D1，A2，B2，C2和D2是与宏观尺度与微观尺度有关的结构参数.利用应力计算公式 计算出应力，并代入方程（1）得
为了获得无量纲形式的控制方程，引入无量纲变量（这里u0是初始激励波的波幅，L是初始激励信号波长）以及几个无量纲参数
这里l1和l2表示材料的两种不同微结构尺度参数，δ1和δ2表示两种内特征长度与波长之比的平方.把这些无量纲变量和无量纲参数代入方程（4），并化简得
把?，ψ展开为的幂级数，得
比较式（7）和（8）可确定?0，?1，?2，?3，?4，ψ0，ψ1，ψ2，ψ3，ψ4，并利用从属原理可得
将（9）式代入（7）式的第一式，得 将（10）式简化为
2 微结构固体中的孤立波
对方程（12）做行波约化，即令ξ=x-Vt，u=u(ξ)可得 对上式进行两次积分可得
其中g是积分常数.从方程（14）求出并对ξ积分.然后利用条件可得到方程（14）的精确解析解.但由于f(u)的复杂性很难得到上述积分的显示精确积分值.为此，利用数值方法，求出方程（14）的数值解.图2和图3给出了数值求解结果，两幅图表明在微结构固体中可以形成非对称钟型孤立波和非对称饭钟型孤立波.
3 总结
本文根据Mindlin微结构弹性固体理论，使用两种内部变量，建立了一种新的微结构弹性固体的并式非线性模型,此模型包含了宏观尺度上的线性和非线性效应以及两种微尺度上的线性和非线性效应.考虑到模型的复杂程度,很难得到其精确解析解,因此利用了数值方法求解此非线性模型，并绘制出并式微结构弹性固体中可能存在的一种非对称钟型孤立波和非对称反钟型孤立波. 参考文献：
〔1〕Mindlin R D.Micro-structure in linear elasticity〔J〕.Archive for Rational Mechanics and Analysis,1964,16（1）:51-78.
〔2〕Engelbrecht J,Khamidullin Y.On the possible amplification of nonlinear seismic waves〔J〕.physics of the Earth and planetary Interiors,1988,50（1）:39-45.
〔3〕Salupere A,Tamm K,Engelbrecht J,et al.On the interaction of deformation waves in microstructured solids〔J〕.Proc Estonian Acad
弹性固体的并式微结构模型及孤立波
