2014-2015学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（一）答案 Page 1 of 6
北 京 交 通 大 学
2014~2015学年第一学期概率论与数理统计阶段测验（一）试卷
参 考 答 案
一．（本题满分8分）
已知100件产品中有5件次品．从这100件产品中任意取出4件，求取出的4件产品中至少有一件是次品的概率． 解：
设A?取出的4件产品中至少有一件是次品．则
4C95 P?A??1?P?A??1?4?0.1881．
C100??二．（本题满分8分） 掷两颗骰子，记
A?两颗骰子的点数之和 8，为 B?第一颗骰子的点数大于第二颗骰子的点数． 分别计算PAB（4分）与PBA（4分）． 解：
???????? 掷两颗骰子，样本点总数为36．事件A含有5个样本点，事件B含有15个样本点．所以 P?A??515，P?B??． 36362． 36又事件AB含有2个样本点，所以P?AB??2P?AB?362P?AB?所以有 P?AB????， P?BA???15P?B?15P?A?36三．（本题满分8分）
236?2． 5536 有5条线段，长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任意取出3条，求所取出的3条线段能构成一个三角形的概率．
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解：
设A?“5条线段任取3条可以构成一个三角形”．
3 从5条线段中任取3条，有取法C5?10种．
这10情况分别是：
（1、3、5）， （1、3、7）， （1、3、9）， （1、5、7）， （1、5、9）， （1、7、9）， （3、5、7）， （3、5、9）， （3、7、9）， （5、7、9）． 取出的3条线段可以构成一个三角形，当且仅当这三条线段中任意两条线段之和大于第三条线段的长度．满足该条件的三条线段分别为 （3、5、7）， （3、7、9）， （5、7、9）． 共有3组．所以 P?A??3． 10四．（本题满分8分）
已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者．现从一群男女比例为2:3的人群中随机挑选一人，发现是色盲患者，求此人是男性的概率． 解：
?． A??任取一人为男性?，B??任取一人为色盲患者则所求概率为PAB．由Bayes公式，得 PAB?????P?A?P?BA?P?A?P?BA??P?A?PBA??
?0.4?0.05?0.930232558 1．
0.4?0.05?0.6?0.0025五．（本题满分9分）
某工厂有甲、乙、丙三台相同型号的机器，在一年内需要维修的概率分别为0.9、0.8和0.85，而且各台机器是否需要维修是相互独立的．求在这一年内，⑴ 三台机器都不需要维修的概率（4分）；⑵ 至少有一台机器不需要维修的概率（5分）． 解：
?，A3??丙机器需要维修?，A2??乙机器需要维修 设A?． 甲机器需要维修1??则由题设，知P?A1??0.9，P?A2??0.8，P?A3??0.85．
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⑴ P?三台机器都不需要维修??PA1A2A3?PA1PA2PA3 ??1?0.9???1?0.8???1?0.85??0.1?0.2?0.15?0.003． ⑵ 设B??至少有一台机器不需要维修?，则 P?B??PA1?A2?A3?1?PA1?A2?A3 ?1?P?A1A2A3??1?P?A1?P?A2?P?A3? ?1?0.9?0.8?0.85?0.388 六．（本题满分8分）
一个人的血型为A，B，AB，O型的概率分别为0.37，0.21，0.08，0.34．现任意挑选6个人，求下列事件的概率．
⑴ A?6人中A型、B型、O型血型各为2人（4分）； ⑵ B?6个人全为同一血型（4分）． 解：
???????????????? ⑴ P?A??6!； ?0.372?0.212?0.342?0.062811952!2!2! ⑵ P?B??P?同为A型??P?同为B型??P?同为AB型??P?同为O型?
9．59 ?0.376?0.216?0.086?0.346?0.0041965 0七．（本题满分8分）
口袋中装有2n?1只白球、2n只黑球，一次取出n只球，发现都是同一种颜色的，问这颜色是黑色的概率为多少？ 解：
设A?“取出的n个球都是同一种颜色的球”， B?“取出的n个球都是黑色的球”． 所求的概率为P?BA?．注意到B?A，因此有 P?BA??而
P?AB?P?B??．
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nnnC2C2n?1?C2nn P?A??，． ??PB?nnC4nC4n因此有
nC2?2n?!2nnnnC22Cn!n! P?BA??n4nn?n2nn??n??．
?2n?1?!??2n?!1?2n1?23C2n?1?C2nC2n?1?C2nn?n?1?!n!n!n!nC4n八．（本题满分8分）
某保险公司把被保险人分成三类：“谨慎的”、“一般的”和“冒失的”，他们在被保险人所占比例分别为18 %，56 %，26 % ．统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率分别为0.04，0.12，0.23．现有某被保险人在一年内出事故了，求其是“谨慎的”客户的概率． 解：
设B???； 某保险人出事故?， A1??任取一客户为“谨” 慎的 A2??任取一客户为“一” ?，般的?， A3??任取一客户为“冒” 失的则由Bayes公式，所求概率为 P?A1B?? ?P?A1?P?BA1??P?A2?P?BA2??P?A3?P?BA3?P?A1?P?BA1?
0.18?0.04?0.0536 50.18?0.04?0.56?0.12?0.26?0.23九．（本题满分9分）
验收一批共有60件的产品．按照验收规则，随机抽取3件，只要3件中有一件是不合格品，就拒收整批产品．设验收时不合格品被误判为合格品的概率为0.03；而合格品被误判为不合格品的概率为0.01．如果这60件产品中有3件为不合格品，问这批产品被接收的概率是多少？ 解：
? 设：A??这批产品被接收 Bi??抽取的 ?i?0，1，2，3? ?品3件产品中i有件是不合格则由全概率公式，得
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P?A???P?Bi?P?ABi?
i?030312130C3C57C3C57C32C57C3C573323 ? ???????????1?0.01??0.03?1?0.01??0.03?1?0.01??0.033333C60C60C60C60 ?0.8338
十．（本题满分9分）
设P?A??0.4，P?B??0.5，P?C??0.5．试分别就下面两种情况，计算概率PA?CAB?C ： ⑴. 随机事件A、B、C相互独立（5分）；
⑵. 随机事件A、B相互独立，且随机事件A、C互不相容（4分）． 解：
?? P?A?CAB?C??P?AC??AB?C??P??AC?AB???AC?C?? ?P?AB?C?P?AB?C? ?P?ABC?P?AB??P?ABC? ??P?AB?C?P?AB??P?C??P?ABC ⑴. 随机事件A、B、C相互独立时 P?A?CAB?C??P?AB??P?ABC? ?P?AB??P?C??P?ABC ?0.4?0.5?0.4?0.5?0.51P?A?P?B??P?A?P?B?P?C???；
P?A?P?B??P?C??P?A?P?B?P?C?0.4?0.5?0.5?0.4?0.5?0.56 ⑵. 随机事件A、B相互独立，且随机事件A、C互不相容时，即AC??，并且由于
ABC?AC，所以有ABC??．因此，
P?A?CAB?C??P?AB??P?ABC?P?AB?? P?AB??P?C??P?ABC?P?AB??P?C? ?P?A?P?B?0.4?0.52??．
P?A?P?B??P?C?0.4?0.5?0.57十一．（本题满分9分） 从1,率． 解：
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2,?,9这九个数字中有放回地取出n个数字，求取出的n个数字的乘积能够被10整除的概
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设A??取出的 n个数字乘积能够被10整除?， B??取出的， n个数字中至少有一数个?偶 C??取出的． n个数字中至少有一5?个则有
P?A??P?BC??1?PBC?1?PB?C ?1?PB?PC?PBC
??????????5n8n4n5n?8n?4n ?1?n?n?n?1?．
9999n十二．（本题满分8分）
设随机事件A、B、C相互独立，证明：随机事件A?B与C相互独立． 解：
因为
P??A?B?C??P?AC?BC? （随机事件的分配律） ?P?AC??P?BC??P?AC?BC? （概率的加法公式） ?P?AC??P?BC??P?ABC?
?P?A?P?C??P?B?P?C??P?A?P?B?P?C? （A、B、C相互独立） ??P?A??P?B??P?A?P?B??P?C?
??P?A??P?B??P?AB??P?C? （A、B、C相互独立） ?P?A?B?P?C? （概率的加法公式） 因此，随机事件A?B与C相互独立．
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