函数的图象与性质
一、函数的性质及应用
1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”)． (2)在公共定义域内：
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数； ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称． 3．周期性
定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|. 常见结论：
(1)f(x＋a)＝－f(x)?函数f(x)的最小正周期为2|a|.(a≠0) 1
(2)f(x＋a)＝?函数f(x)的最小正周期为2|a|.(a≠0)
f?x?a＋b
(3)f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于x＝对称．
2
例1：(1)已知函数f(x)为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f(log2m) A.≤m<2 B.≤m≤2 44C．2 (2)已知函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋1)＋m，则f(1－2)的值为( ) 1A．－ 21C. 2 B．－log2(2－2) D．log2(2－2) 5－?练习1：(1)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0 f?x＋2?，x<2，?? (2)已知函数f(x)＝?1x则f(－1＋log35)的值为( ) ??，x≥2，??3152 A. B. C．15 D. 1533 1f?x?例2：(1)已知函数f(x)＝cos x与函数g(x)＝loga()x (a>0且a≠1)，则函数F(x)＝的图象 ag?x?可能是( ) (2)若正实数a，b满足不等式ab＋1 1 x－?cos x (－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( ) 练习2：(1)函数f(x)＝??x? (2)已知三次函数f(x)＝2ax3＋6ax2＋bx的导函数为f′(x)，则函数f(x)与f′(x)的图象可能是( ) 三、基本初等函数的图象和性质 1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0 2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况． 27－97 例3：(1)设a＝()4，b＝()5，c＝log2，则a，b，c的大小顺序是( ) 979A．b B．c 11??log2x，x>0， (2)若函数f(x)＝?若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( ) x?，x<0，?log ?1－? 2 A．(－1,0)∪(0,1) C．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 练习3：(1)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( ) (2)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时不等式f(x)＋xf′(x)<0恒成立，若a＝11 30.3·f(30.3)，b＝logπ3·f(logπ3)，c＝log3·f(log3)，则a，b，c的大小关系是( ) 99A．a>b>c B．c>a>b C．a>c>b D．c>b>a 习题 1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A．y＝1＋x2 1 C．y＝2x＋x 2 1 B．y＝x＋ xD．y＝x＋ex 2．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( ) 1 A．f(x)＝x 21 C．f(x)＝()x 2 1 3．函数f(x)＝的图象大致为( ) ln|x| B．f(x)＝x3 D．f(x)＝3x 4．函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( ) 5．已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；111 x＋?＝f?x－?，则f(6)等于( ) 当x>时，f??2??2?2A．－2 B．－1 C．0 D．2 6．设f(x)，g(x)，h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均为增函数，则f(x)，g(x)，h(x)中至少有一个为增函数；②若f(x)＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)，g(x)，h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是( ) A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 7、已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是图中的( ) 8、定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x1 ＋，则f(log220)等于( ) 5A．1 C．－1 4B. 54D．－ 5 1 9．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( ) ln?x＋1?－x ???1－2a?x＋3a，x<1， 10．已知函数f(x)＝? 的值域为R，那么a的取值范围是( ) ?ln x，x≥1? A．(－∞，－1] 1－1，? C.?2?? 1 －1，? B.?2??10，? D.??2?11．已知函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x，若M＝f(－π)，N＝f(e)，K＝f(5)，则M，N，K的大小关系为( ) A．N>M>K C．M>N>K 12、函数f(x)＝lg(x－1)＋ B．K>M>N D．M>K>N 1 的定义域为________． 2－x 13．已知y＝f(x)是定义域为R的单调递减的奇函数，若f(3x＋1)＋f(1)≥0，则x的取值范围是________． 3??x－3x，x≤a， 14．设函数f(x)＝? ?－2x，x＞a.? (1)若a＝0，则f(x)的最大值为________； (2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________． x??－4，0 15．已知函数h(x)(x≠0)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝?若h(t)>h(2)，则 ??4－2x，x>4，实数t的取值范围为________． 16．给出下列四个函数： ①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x2；④y＝x. 当0 ???3－a?x－a ?x<1?， 17、已知f(x)＝?在(－∞，＋∞)上是增函数，那么实数a的取值范围 ?logx ?x≥1??a 2 x1＋x2?f?x1?＋f?x2? 恒成立的函数的序号是________． 2?2?> 是________．
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