第七章 参数估计
引 言:
本章将讨论统计推断,所谓统计推断就是由样本来推断总体. 当总体的某个参数未知时,用样本来对它进行估计,就是参数估计. 至于参数,目前没有准确的定义,只有一些具体的参数,本书指出三类参数: ①分布中含有的未知参数θ;②θ的函数;③分布的各种特证数。
§7.1 点估计
1.点估计定义:设x1,x2,…xn是总体X的一个样本,θ是它的未知参数,用一个关于x1,x2,…xn的统计量
作为θ的估计值,称为θ的点估计. 2.点估计的两种常用方法 (1)替换原理和矩法估计
① 替换原理:替换原理常指如下两句话:一是:用样本矩替换总体矩;二是:用样本矩的函数替换相应的总体矩的函数. ② 矩估计的方法:根据替换原理,用样本矩或样本矩的函数对总体的矩或矩的函数进行估计。例如:用样本均值(X),即;用样本二阶中心矩估计总体方差,即(2)概率函数p(x;θ)已知时未知参数的矩法估计
;用事件A的频率估计事件A的概率等.
的取值
估计总体均值E
设总体具有已知的概率函数p(x;θ1,…,θk),(θ1,…,θk)是未知参数或参数向量,x1,…,xn是样本,假定总体的k阶原点矩μk存在,则对所有的j(0 (3)若假设θ1,…,θk能够表示成μ1,…,μk的函数θj=θj(μ1,…,μk),则可给出诸θj的矩法估计。 这说明矩估计可能是不惟一的,这是矩法估计的一个缺点,此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。 矩估计法处理三类问题:第一,直接估计参数,第二,通过总体分布已知,但还有未知参数的情况下,对未知参数进行估计的时候,是要通过总体所服从的分布,找到未知参数和X之间的关系,然后对X进行估计,代进去对未知参数进行估计。第三,未知参数的函数的估计。 小概率原理:小概率事件,在一次试验中,几乎不可能发生。在一次事件中就发生的事件,我们认为它是大概率事件。 (4)极大似然估计 总结计算方法: ① 构造似然函数;② 求似然函数的对数. 由于似然函数是以乘积形式构成,对数函数是的单调增加函数,则似然函数的对数与其有相同的极值点,所以在求导数之前先求似然函数的对数;③ 用导数求似然函数对数的极值,得极大似然估计值. 类似地,当总体X~U(a,b)时,参数a、b的极大似然估计为 极大似然估计的一个简单而有用的性质:若这就是极大似然估计的不变性。 1.相合性 (1)定义:设 为未知参数, 是θ的一个估计量,n是样本容量,若对任何ε>0,有 , 是θ的极大似然估计,则对任一θ的函数g(θ), 它的极大似然估计为§7.2 点估计的评价标准 ,则称为参数θ的相合估计. 解释:相合性被认为是对估计的一项最基本的要求. 但是,由于此性质需要有n→∞的极限过程,所以,相合性适合的大样本估计的评价。 (2)相合性判定定理:设的相合估计. 2.无偏性 对于小样本,无偏性是一个常用的评价标准。 是θ的一个估计量,若 , ,则称 为参数θ (1)定义:设是θ的一个估计,θ的参数空间为计;否则称为有偏估计. 解释:无偏估计表示估计值与被估计量之间没有系统偏差. (2)几个有用的结论 ① 是 的无偏估计; 是σ的渐进无偏估计; 2 ,若对任意,有, 则称为θ的无偏估 ②,即 22 ③s是σ的无偏估计; ④ 若3.有效性 为θ的无偏估计,一般地,除gθ是θ的线性函数外,不是gθ的无偏估计.所以,无偏性没有不变性。 (1)定义:设,是θ的两个无偏估计,如果对任意的有 ,且至少有一个使上式的不等号严格 成立,则称比有效. (2)解释:这是在无偏估计中选择更好的估计的评价标准。 §7.3 参数的区间估计 点估价的两点不足:① 很难准确;② 没有用数量表示的可信度。为此,引入区间估计。 1.置信区间的概念 (1)引例 22 【例7-17】设某种绝缘子抗扭强度X服从正态分布N(μ,σ),其中未知,σ已知(σ=45公斤·米),试对总体均值μ作区间估计. 分析:首先,通过抽样来估计μ,所以,从总体X抽取容量为n的样本x1,x2,…,xn,可得样本均值 ,已知 是μ的无偏估 计,且~,可以在的基础上对μ作区间估计. 其次,也是最重要的是,要选择一个合适的统计量作为估计函数. 为了对μ作估计,要求估计函数应该:① 含有待估计参数μ,② 无论μ为何值,估计函数的分布已知,以便通过查该分布的计算表求所需数值. 再次,为了克服点估计的可信程度无法度量的不足,需要设定一个可信概率,记为1-α(0<α<1),称为置信度,依此概率进行估计. 解:从总体X抽取容量为n的样本x1,x2,…,xn,可得样本均值 ~ ,从而得到合适的估计函数为 ~; 因为 是μ的无偏估计及标准正态分布概率密度函数的对称性,又置信度为1-α(0<α<1),所以,查表求满足 或 的 ,即标准正态分布的上 分位点. 将不等式 转化为 ,即为 因此有 , . 所得区间即为所求的估计区间,由于区间长度随置信度1-α变化而变换,所以称之为置信区间. 小结:步骤:① 选取合适的估计函数;② 根据置信度查表求上(2)置信区间的定义:设θ为总体的未知参数,个统计量,若对于给定的概率1-α(0<α<1),有 置信区间, 称为置信下限, 称为置信上限. ]的概率为1-α. (4)置信度与精度的关系 ① 在样本容量固定的条件下,置信度增大,将引起置信区间长度增大,使区间估计的精度降低;置信度减小,将引起置信区间长度减小,使区间估计的精度提高; ② 在置信度固定不变的条件下,样本容量增大,将引起置信区间长度减小,区间估计的精度提高;反之,精度降低. 分位点;③ 根据样本及相应的置信区间公式,求出置信区间. , ,则随机区间[ 是由样本x1,x2,…,xn给出的两]称为参数θ的置信度为1-α的 (3)解释:参数θ落入区间[
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