高自考概率与数理统计课堂讲义打印版(第七章参数估计)

第七章 参数估计

引 言：

本章将讨论统计推断，所谓统计推断就是由样本来推断总体. 当总体的某个参数未知时，用样本来对它进行估计，就是参数估计. 至于参数，目前没有准确的定义，只有一些具体的参数，本书指出三类参数： ①分布中含有的未知参数θ；②θ的函数；③分布的各种特证数。

§7.1 点估计

1.点估计定义：设x1,x2,…xn是总体X的一个样本，θ是它的未知参数，用一个关于x1,x2,…xn的统计量

作为θ的估计值，称为θ的点估计. 2.点估计的两种常用方法 （1）替换原理和矩法估计

① 替换原理：替换原理常指如下两句话：一是：用样本矩替换总体矩；二是：用样本矩的函数替换相应的总体矩的函数. ② 矩估计的方法：根据替换原理，用样本矩或样本矩的函数对总体的矩或矩的函数进行估计。例如：用样本均值（X），即；用样本二阶中心矩估计总体方差，即（2）概率函数p（x；θ）已知时未知参数的矩法估计

；用事件A的频率估计事件A的概率等.

的取值

估计总体均值E

设总体具有已知的概率函数p（x；θ1，…，θk），（θ1，…，θk）是未知参数或参数向量，x1,…,xn是样本，假定总体的k阶原点矩μk存在，则对所有的j（0

（3）若假设θ1，…，θk能够表示成μ1，…，μk的函数θj=θj（μ1，…，μk），则可给出诸θj的矩法估计。

这说明矩估计可能是不惟一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。

矩估计法处理三类问题：第一，直接估计参数，第二，通过总体分布已知，但还有未知参数的情况下，对未知参数进行估计的时候，是要通过总体所服从的分布，找到未知参数和X之间的关系，然后对X进行估计，代进去对未知参数进行估计。第三，未知参数的函数的估计。

小概率原理：小概率事件，在一次试验中，几乎不可能发生。在一次事件中就发生的事件，我们认为它是大概率事件。 （4）极大似然估计 总结计算方法：

① 构造似然函数；② 求似然函数的对数. 由于似然函数是以乘积形式构成，对数函数是的单调增加函数，则似然函数的对数与其有相同的极值点，所以在求导数之前先求似然函数的对数；③ 用导数求似然函数对数的极值，得极大似然估计值. 类似地，当总体X～U（a,b）时，参数a、b的极大似然估计为 极大似然估计的一个简单而有用的性质：若这就是极大似然估计的不变性。 1.相合性 （1）定义：设

为未知参数，

是θ的一个估计量，n是样本容量，若对任何ε>0，有

，

是θ的极大似然估计，则对任一θ的函数g（θ）, 它的极大似然估计为§7.2 点估计的评价标准

，则称为参数θ的相合估计.

解释：相合性被认为是对估计的一项最基本的要求. 但是，由于此性质需要有n→∞的极限过程，所以，相合性适合的大样本估计的评价。

（2）相合性判定定理：设的相合估计. 2.无偏性

对于小样本，无偏性是一个常用的评价标准。

是θ的一个估计量，若

，

，则称

为参数θ

（1）定义：设是θ的一个估计，θ的参数空间为计；否则称为有偏估计.

解释：无偏估计表示估计值与被估计量之间没有系统偏差. （2）几个有用的结论 ①

是

的无偏估计；

是σ的渐进无偏估计；

2

，若对任意，有， 则称为θ的无偏估

②，即

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③s是σ的无偏估计； ④ 若3.有效性

为θ的无偏估计，一般地，除gθ是θ的线性函数外，不是gθ的无偏估计.所以，无偏性没有不变性。

（1）定义：设，是θ的两个无偏估计，如果对任意的有 ，且至少有一个使上式的不等号严格

成立，则称比有效.

（2）解释：这是在无偏估计中选择更好的估计的评价标准。

§7.3 参数的区间估计

点估价的两点不足：① 很难准确；② 没有用数量表示的可信度。为此，引入区间估计。 1.置信区间的概念 （1）引例

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【例7－17】设某种绝缘子抗扭强度X服从正态分布N（μ，σ），其中未知，σ已知（σ＝45公斤·米），试对总体均值μ作区间估计.

分析：首先，通过抽样来估计μ，所以，从总体X抽取容量为n的样本x1，x2，…，xn，可得样本均值

，已知

是μ的无偏估

计，且～，可以在的基础上对μ作区间估计.

其次，也是最重要的是，要选择一个合适的统计量作为估计函数. 为了对μ作估计，要求估计函数应该：① 含有待估计参数μ，② 无论μ为何值，估计函数的分布已知，以便通过查该分布的计算表求所需数值.

再次，为了克服点估计的可信程度无法度量的不足，需要设定一个可信概率，记为1－α（0<α<1），称为置信度，依此概率进行估计.

解：从总体X抽取容量为n的样本x1，x2，…，xn，可得样本均值

～

，从而得到合适的估计函数为

～；

因为 是μ的无偏估计及标准正态分布概率密度函数的对称性，又置信度为1－α（0<α<1），所以，查表求满足

或 的

，即标准正态分布的上

分位点.

将不等式

转化为

，即为

因此有

，

.

所得区间即为所求的估计区间，由于区间长度随置信度1－α变化而变换，所以称之为置信区间.

小结：步骤：① 选取合适的估计函数；② 根据置信度查表求上（2）置信区间的定义：设θ为总体的未知参数，个统计量，若对于给定的概率1－α（0<α<1），有 置信区间，

称为置信下限，

称为置信上限. ]的概率为1－α.

（4）置信度与精度的关系

① 在样本容量固定的条件下，置信度增大，将引起置信区间长度增大，使区间估计的精度降低；置信度减小，将引起置信区间长度减小，使区间估计的精度提高；

② 在置信度固定不变的条件下，样本容量增大，将引起置信区间长度减小，区间估计的精度提高；反之，精度降低.

分位点；③ 根据样本及相应的置信区间公式，求出置信区间.

，

，则随机区间[

是由样本x1，x2，…，xn给出的两]称为参数θ的置信度为1－α的

（3）解释：参数θ落入区间[