严格依据大纲编写： 笔记目录
第一章极限和连续 第一节极限
[复习考试要求]
1.了解极限的概念（对极限定义
等形式
6.理解微分的概念，掌握微分会求函数的一阶微分。
第二节导数的应用 [复习考试要求]
1.熟练掌握用洛必达法则求
“0·∞”、“∞-∞”型未定式
图形绕坐标轴旋转所生成的旋描述不作要求）。会求函数在
一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充
第四章多元函数微分学 [复习考试要求]
1.了解多元函数的概念，会求函数的几何意义。
2.了解二元函数的极限与连续
分必要条件。
2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会
法则，了解可微和可导的关系，转体的体积。
二元函数的定义域。了解二元3.理解无穷小量、无穷大量的
的描述不作要求）。会求函数的极限的方法。
在一点处的左极限与右极限，2.掌握利用导数判定函数的单
了解函数在一点处极限存在的调性及求函数的单调增、减区的概念。 充分必要条件。 间的方法。会利用函数的单调3.理解二元函数一阶偏导数和2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的
性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握
全微分的概念，掌握二元函数运用等价无穷小量代换求极的一阶偏导数的求法。掌握二限。
求函数的驻点、极值点、极值、元函数的二阶偏导数的求法，4.熟练掌握用两个重要极限求概念，掌握无穷小量的性质、最大值与最小值的方法，会解掌握二元函数的全微分的求极限的方法。 无穷小量与无穷大量的关系。简单的应用题。
会进行无穷小量阶的比较（高4.会判断曲线的凹凸性，会求阶、低阶、同阶和等价）。会曲线的拐点。 运用等价无穷小量代换求极5.会求曲线的水平渐近线与铅限。
4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
第二节函数的连续性 [复习考试要求]
1.理解函数在一点处连续与间
直渐近线
第三章一元函数积分学 第一节不定积分
[复习考试要求]
1.理解原函数与不定积分的概
法。
4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。
5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。
6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。
第五章概率论初步
[主要知识内容] （一）数列的极限 1.数列
定义按一定顺序排列的无穷多个数
称为无穷数列，简称数列，记作{xn}，数列中每一个数称为数列的项，第n项xn为数列的一般项或通项，例如
（1）1，3，5，…，（2n-1），…（等差数列） （2）（3）
（等比数列） （递增数列）
，…
断的概念，理解函数在一点处念及其关系，掌握不定积分的[复习考试要求]
连续与极限存在之间的关系，性质。 1.了解随机现象、随机试验的掌握判断函数（含分段函数）2.熟练掌握不定积分的基本公在一点处连续性的方法。 式。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的题。
4.理解初等函数在其定义区间
3.熟练掌握不定积分第一换元
基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。 2.掌握事件之间的关系：包含
法，掌握第二换元法（仅限三关系、相等关系、互不相容关（4）1，0，1，0，…性质会用它们证明一些简单命角代换与简单的根式代换）。 系及对立关系。 （震荡数列）
4.熟练掌握不定积分的分部积分法。
3.理解事件之间并（和）、交
都是数列。它们的一般项分别
（积）、差运算的意义，掌握为 上的连续性，会利用函数连续5.掌握简单有理函数不定积分其运算规律。
（2n-1）,。
性求极限。 4.理解概率的古典型意义，掌的计算。
对于每一个正整数n，都有一
握事件概率的基本性质及事件第二节定积分及其应用
个xn与之对应，所以说数列{xn}
第二章一元函数微分学 概率的计算。 [复习考试要求]
可看作自变量n的函数xn=f
第一节导数与微分 1.理解定积分的概念及其几何5.会求事件的条件概率；掌握
（n），它的定义域是全体正整
[复习考试要求] 概率的乘法公式及事件的独立意义，了解函数可积的条件
数，当自变量n依次取1,2,3…
1.理解导数的概念及其几何意2.掌握定积分的基本性质 性。
一切正整数时，对应的函数值
义，了解可导性与连续性的关3.理解变上限积分是变上限的6.了解随机变量的概念及其分
就排列成数列。
系，会用定义求函数在一点处函数，掌握对变上限积分求导布函数。
在几何上，数列{xn}可看作数轴
的导数。 7.理解离散性随机变量的意义数的方法。
上的一个动点，它依次取数轴
2.会求曲线上一点处的切线方4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公及其概率分布掌握概率分布的
上的点x1,x2,x3,...xn,…。
程与法线方程。 计算方法。 式。
2.数列的极限
3.熟练掌握导数的基本公式、5.掌握定积分的换元积分法与8.会求离散性随机变量的数学
定义对于数列{xn}，如果当n→∞
四则运算法则以及复合函数的分部积分法。 期望、方差和标准差。
时，xn无限地趋于一个确定的
求导方法。 第一章极限和连续 6.理解无穷区间的广义积分的
常数A，则称当n趋于无穷大
4.掌握隐函数的求导法与对数概念，掌握其计算方法。 第一节极限
时，数列{xn}以常数A为极限，
求导法。会求分段函数的导数。 7.掌握直角坐标系下用定积分[复习考试要求]
或称数列收敛于A，记作
5.了解高阶导数的概念。会求计算平面图形的面积以及平面1.了解极限的概念（对极限定
简单函数的高阶导数。 义等形式的
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比如：
无限的趋向0 ，无限的趋向1
否则，对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列{xn}没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。
比如：1，3，5，…，（2n-1），… 1，0，1，0，…A及数列的项
依次
定义对于函数y=f（x），如果当
x无限地趋于x0时，函数f（x）定理1.6当x→x0时，例：函数f（x）=2+e-x，当x→函数（fx）无限地趋于一个常数A，则称的极限等于A的必要充分条件+∞时，f（x）→？ 当x→x0时，函数f（x）的极限是
解：f（x）=2+e-x=2+，
是A，记作
x→+∞，f（x）=2+→2
或f（x）→A（当x反之，如果左、右极限都等于
所以
→x0时） A，则必有。
（3）当x→-∞时，函数f（x）
例y=f（x）=2x+1
的极限
x→1,f（x）→?
x→1时f(x)→?
定义对于函数y=f（x），如果当
x<1x→1
x≠1 x→-∞时，f（x）无限地趋于一
个常数A，则称当x→-∞时，fx→1f(x)→2
x>1x→1
（x）的极限是A，记作
对于函数，当x→（2）左极限
x→-∞f(x)→？
1时，f（x）的左极限是2，右当x→x0时f（x）的左极限
则f(x)=2+(x＜0) 定义对于函数y=f（x），如果当极限也是2。 x从x0的左边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的左极限是A，记作
或f（x0-0）=A
x→-∞,-x→+∞ f(x)=2+
→2
之间有以下关系：
数列极限的几何意义：将常数用数轴上的点表示，若数列{xn}以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点xn可以无限靠近点A，即点xn与点A之间的距离|xn-A|趋于0。 比如：
无限的趋向0 无限的趋向1
（二）数列极限的性质与运算（3）右极限
当x→x0时，f（x）的右极限 法则
1.数列极限的性质
定理1.1（惟一性）若数列{xn}x从x0的右边无限地趋于x0
收敛，则其极限值必定惟一。 时，函数f（x）无限地趋于一
函数2.当x→∞时，函数f（x）的极例：
→-∞时，f（x）→？ 限
（1）当x→∞时，函数f（x）的解：当x→-∞时，-x→+∞
→2，即有
y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+
，当x
定义对于函数y=f（x），如果当极限
定理1.2（有界性）若数列{xn}个常数A，则称当x→x0时，函
数f（x）的右极限是A，记作 x→∞f(x)=1+→1 收敛，则它必定有界。 注意：这个定理反过来不成立，敛。比如： 1，0，1，0，…0，1
2.数列极限的存在准则
有界：
，求
，
或f（x0+0）=A
也就是说，有界数列不一定收例子：分段函数
由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函数f（x）极限的定义，不难
看出：x→∞时f（x）的极限是A
充分必要条件是当x→+∞以及x
定义对于函数y=f（x），如果当
→-∞时，函数f（x）有相同的极
x→∞时，f（x）无限地趋于一个
限A。
常数A，则称当x→∞时，函数f（x）的极限是A，记作
例如函数
，当x→-∞时，
或f（x）→A（当x→f（x）无限地趋于常数1，当x
→+∞时，f（x）也无限地趋于同∞时）
于0时f（x）无限地趋于一个定理1.3（两面夹准则）若数列（2）当x→+∞时，函数f（x）一个常数1，因此称当x→∞时常数1。我们称当x→0时，（fx）{xn},{yn},{zn}满足以下条件： 的极限
的极限是1，记作 的左极限是1，即有 （1）， 定义对于函数y=f（x），如果当 x→+∞时，f（x）无限地趋于一
其几何意义如图3所示。
定理1.4若数列{xn}单调有界，当x从0的右边无限地趋于0个常数A，则称当x→+∞时，函
时，f（x）无限地趋于一个常则它必有极限。 数f（x）的极限是A，记作数-1。我们称当x→0时，f（x）3.数列极限的四则运算定理。
的右极限是-1，即有 定理1.5 这个定义与数列极限的定义基
本上一样，数列极限的定义中n
（1） →+∞的n是正整数；而在这个f(x)=1+ （2）
， 则
（
2
）
时，
显然，函数的左极限
右
x→+∞，f(x)=2+
→2
定义中，则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是正整数，而为任意实数。 y=f(x)x→+∞f(x)x→？
（三）函数极限的概念
y=arctanx
不存在。
但是对函数y=arctanx来讲，
解：当x从0的左边无限地趋
（3）当
1.当x→x0时函数f（x）的极限 极限（1）当x→x0时f（x）的极限
与函数的极限
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因为有
（1）充分大（也即无限地增大），则称在该变化过程中，
无穷大量。记作
为
。 （2）
注意：无穷大（∞）不是一个数 即虽然当x→-∞时，f（x）的极（3）
限存在，当x→+∞时，f（x）的用极限的运算法则求极限时，值，“∞”是一个记号，绝不能写
等价无穷小量代换定理： 或。 极限也存在，但这两个极限不必须注意：这些法则要求每个成
如果当时，
相同，我们只能说，当x→∞时，参与运算的函数的极限存在，3.无穷小量与无穷大量的关系
均为无穷小量，又有无穷小量与无穷大量之间有一y=arctanx的极限不存在。 且求商的极限时，还要求分母
种简单的关系，见以下的定理。
的极限不能为零。 x)=1+ 且存在，则定理1.11在同一变化过程中，另外，上述极限的运算法则对
如果为无穷大量，则于的情形也都成立。
。
为无穷小量；反之，如果为（五）无穷小量和无穷大量
均为无穷小
1.无穷小量（简称无穷小）
无穷小量，且，则为又有y=arctanx
定义对于函数，如果自
无穷大量。
变量x在某个变化过程中，函
不存在。
但是对函数y=arctanx来讲，因为有
数
的极限为零，则称在该
为无穷小量，
，…来表示
当当
无穷大 无穷小 为无穷小 无穷大
以A为极限4.无穷小量的基本性质
性质1有限个无穷小量的代数性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特
这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。
常用的等价无穷小量代换有：
变化过程中，一般记作常用希腊字母
即虽然当x→-∞时，f（x）的极无穷小量。
限存在，当x→+∞时，f（x）的定理1.10函数相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。 （四）函数极限的定理 定理1.7（惟一性定理）如果
存在，则极限值必定惟一。
极限也存在，但这两个极限不的必要充分条件是：
量之和。
可表示为A与一个无穷小和仍是无穷小量；
当时，
别地，常量与无穷小量的乘积注意：（1）无穷小量是变量，
sinx～x;tan～x;arctanx～
它不是表示量的大小，而是表是无穷小量。
x;arcsinx～x;
示变量的变化趋势无限趋于为
性质3有限个无穷小量的乘积1.重要极限Ⅰ 是无穷小量。 重要极限Ⅰ是指下面的求极限性质4无穷小量除以极限不为公式 零的变量所得的商是无穷小量。
（六）两个重要极限
定理1.8（两面夹定理）设函数零。
在点的某个邻域（2）要把无穷小量与很小的数内（可除外）满足条件： （1）
则有对
。
也成立。
，（2）
严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。
（3）一个变量是否为无穷小量关的。在不同的变化过程中，
注意：上述定理1.7及定理1.8是与自变量的变化趋势紧密相
下面我们给出函数极限的四则同一个变量可以有不同的变化5.无穷小量的比较
定义设是同一变化过程中运算定理 趋势，因此结论也不尽相同。
的无穷小量，即定理1.9如果例如：
。
则
（1）如果则称是比振荡型发散 （1）
（4） 越变越小的变量也不一定较高阶的无穷小量，记作
（2）
是无穷小量，例如当x越变越 大时，
（3）当
时，
就越变越小，但它
；
（2）如果
则称与
令
这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的型的极限问题。
不是无穷小量。
（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为定义；如果当自变量∞）时，
。
为同阶的无穷小量； （3）如果
则称与为
；
时，
上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：
等价无穷小量，记为（4）如果
其结构式为：
2.无穷大量（简称无穷大）
（或
的绝对值可以变得
则称是比
较低价的无穷小量。当
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成人高考专升本高数复习资料
