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3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
预习课本P82～86，思考并完成以下问题 (1)二元一次不等式是如何定义的？ (2)应按照怎样的步骤画二元一次不等式表示的平面区域？ (3)应按照怎样的步骤画二元一次不等式组表示的平面区域？ [新知初探]
1．二元一次不等式
含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式． 2．二元一次不等式组
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组． 3．二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
4．二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线． 5．二元一次不等式表示的平面区域的确定
(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同．
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
精品
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[点睛] 确定二元一次不等式表示平面区域的方法是“线定界，点定域”，定边界时需分清虚实，定区域时常选原点(C≠0)．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于不等式2x－1>0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域( ) (2)点(1,2)不在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内( )
(3)不等式Ax＋By＋C>0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的( ) (4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式( ) (5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域( )
1
解析：(1)错误．不等式2x－1>0不是二元一次不等式，但表示的区域是直线x＝的右
2侧(不包括边界)．
(2)错误．把点(1,2)代入2x＋y－1，得2x＋y－1＝3>0，所以点(1,2)在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内．
(3)错误．不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域不包括边界，而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的．
??2x＋y－1≥0，
(4)错误．在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如?
??3x＋2<0
也称
为二元一次不等式组．
(5)错误．二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域．
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
2．在直角坐标系中，不等式y－x≤0表示的平面区域是( )
2
2
解析：选C 原不等式等价于(x＋y)(x－y)≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.
3．在不等式2x＋y－6<0表示的平面区域内的点是( ) A．(0,7) C．(0,1)
B．(5,0) D．(2,3)
精品
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解析：选C 对于点(0,1)，代入上述不等式2×0＋0×1－6<0成立，故此点在不等式2x＋y－6<0表示的平面区域内，故选C.
4．已知点A(1,0)，B(－2，m)，若A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，则m的取值集合是________．
解析：因为A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，所以把点A(1,0)，B(－2，m)代入1
可得x＋2y＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)>0，解得m>－.
2
???1答案：?m?m>－
2???
??
? ??
二元一次不等式(组)表示的平面区域 [典例] 画出下列不等式(组)表示的平面区域． (1)2x－y－6≥0；
x－y＋5≥0，??
(2)?x＋y≥0，??x≤3.
[解] (1)如图，先画出直线2x－y－6＝0， 取原点O(0,0)代入2x－y－6中， ∵2×0－1×0－6＝－6＜0，
∴与点O在直线2x－y－6＝0同一侧的所有点(x，y)都满足2x－
y－6＜0，因此2x－y－6≥0表示直线下方的区域(包含边界)(如图中
阴影部分所示)．
(2)先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O(0,0)代入x－y＋5，
∵0－0＋5＝5＞0，
∴原点在x－y＋5＞0表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合．同理可得，x＋y≥0表示直
线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．如图所示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域．
(1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．精品
(浙江专版)201X年高中数学 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案
