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第一讲 函数，极限，连续性
1、集合的概念
一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给 定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能 构成集合，因为它的元素不是确定的。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。
集合的表示方法
⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合
集合间的基本关系
⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就 说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。
⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中 的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合 B 的真子集，记作A??。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。
②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算
⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。
⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。记作A ∩B。
即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。
⑶、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。 通常记作U。
⑷、补集：对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U
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的补集。简称为集合A 的补集，记作CUA。 即CUA＝｛x|x∈U，且x 不属于A｝。 ⑸、运算公式：交换律：A∪B=B∪A A∩B=B∩A 结合律：（A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C） 分配律：（A∪B)∩C=（A∩C）∪（B∩C) （A∩B)∪C=（A∪C）∩（B∪C) 对偶律：CU（A∪B)=CUA∩CUB CU（A∩B)=CUA∪CUB 集合中元素的个数
⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card 来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)
2、常量与变量
⑴、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化， 我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其 称 之为变量。
⑵、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于 某两点之间的线段上点的全体。
以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间 [a，+∞)：表示不小于a 的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b 的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞
注：其中-∞和+∞，分别读作\负无穷大\和\正无穷大\它们不是数,仅仅是记号。
⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x 的全体称为点α的δ邻域，点
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α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
3、函数
⑴、函数的定义：如果当变量x 在其变化范围内任意取定一个数值时，量y 按照一定的法则f 总有确 定的数值与它对应，则称y 是x 的函数。变量x 的变化范围叫做这个函数的定义域。通 常x 叫做自变量，y叫做函数值（或因变量），变量y 的变化范围叫做这个函数的值域。 注：为了表明y 是x 的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母\、\表示y 与x 之 间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确 定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只 讨论单值函数。 ⑵、函数相等
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应 关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 3、函数的简单性态
⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I 的所有x 值总有│f(x)│≤M 成立，其中M 是一个与x 无关
的常数，那么我们就称f(x)在区间I 有界，否则便称无界。 注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数。
函数的有界性，单调性应与相关点集I联系起来，离开了点集I。这些概念是没有任何意义的。 ⑵、函数的单调性：如果函数在定义域区间(a,b)内随着x 增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1 及x2，当x1＜x2时，有 如果函数
f(x1)?f(x2)，则称函数f(x)在区间(a,b)内是单调增加的。
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f(x)在定义域区间(a,b)内随着x 增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x
及x2，当x1＜x2 时，有
f(x1)?f(x2)，则称函数f(x)在区间(a,b)内是单调减小的。
⑶、函数的奇偶性 如果函数
f(x)对于定义域内的任意x 都满足f(?x)?f(x)，则f(x)叫做偶函数；如果函数对于定
义域内的任意x 都满足
f(?x)??f(x)，则f(x)叫做奇函数。
注：偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称。 奇偶函数的定义域必关于原点对称。 ⑷、函数的周期性 设函数
f(x)的定义域为I。若存在T?0，对任意的x?I，都使得f(x?T)?f(x)(x?T?I)，则称
f(x)为周期函数，称T为其周期。
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