高中数学
第28炼 三角函数及函数y?Asin??x???性质
一、基础知识：
1、正弦函数y?sinx的性质 （1）定义域：x?R （2）值域：y???1,1? （3）周期：T?2? （4）对称轴（最值点）：x??2?k??k?Z?
（5）对称中心（零点）：?k?,0??k?Z?，其中?0,0?是对称中心，故y?sinx也是奇函数 （6）单调增区间：???????2k?,?2k??,k?Z
2?2? 单调减区间：?3?????2k?,?2k??,k?Z
2?2?2、余弦函数y?cosx的性质 （1）定义域：x?R （2）值域：y???1,1? （3）周期：T?2? （4）对称轴（最值点）：
x?k??k?Z?其中x?0是对称轴，故y?cosx也是偶函数
（5）对称中心（零点）：?????k?,0??k?Z? ?2?（6）单调增区间：????2k?,??2k??,k?Z 单调减区间：?2k?,??2k??,k?Z 3、正切函数y?tanx的性质 （1）定义域：x??x|x?（2）值域：y?R （3）周期：T??
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?????k?,k?Z? 2?高中数学
（4）对称中心：??k??,0??k?Z? ?2?（5）零点：?k?,0??k?Z? （6）单调增区间：???????k?,?k??,k?Z
2?2?注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的x的值 4、y?sinx的性质：与正弦函数y?sinx相比，其图像可以看做是由y?sinx图像变换得到（x轴上方图像不变，下方图像沿x轴向上翻折），其性质可根据图像得到： （1）定义域：x?R （2）值域：y??0,1? （3）周期：T?? （4）对称轴：x?k??k?Z? 2（5）零点：x?k??k?Z? （6）单调增区间：?k?,?????k??,k?Z 2? 单调减区间：??????k?,k??,k?Z ?2?5、y?Asin??x????A?0?的性质：此类函数可视为正弦函数y?sinx通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下： （1）定义域：x?R （2）值域：y???A,A? （3）周期：T?2??
（4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求。通常设t??x??，其中??0，则函数变为y?Asint，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出t所满足的条件，然后将t还原为?x??再解出x的值（或范围）即可
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注：1、余弦函数也可看做y?Asin??x???的形式，即y?cosx?sin?x?性质可通过计算得到。
?????，所以其2?2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为
y?Asin??x???，再求其性质
二、典型例题：
例1：函数f?x??3sin2x?cos2x （ ） A. 在??????????,??上单调递减 B. 在?,?上单调递增 ?36??63?C. 在????????,0?上单调递减 D. 在?0,?上单调递增 ?6??6??3?1???思路：f?x??3sin2x?cos2x?2?sin2x?cos2x?2sin2x???? ?2?26????单调递增区间：?单调递减区间：
?2?2k??2x??6???2?2k????3?k??x??6?k??k?Z?
?2?2k??2x??63??2??2k???k??x??k??k?Z? 263?符合条件的只有D
答案：D
例2：函数y?2cos?x?2??????1的一个单调递减区间为（ ） 4??? C. ???????,? D. ?22???????,? ?44?A. ???3?,22????3? B. ??,??44思路：先变形解析式，y?2cos2?x?间：?要求 答案：D 例3：y?sin???????????1?cos2x???????sin2x，再求出单调区?4?4?????k??x??2?2k??2x??2?2k????4?4?k??k?Z?，k?0时，D选项符合
????2x?的递减区间为（ ） ?3?3
高考高中数学第28炼 三角函数性质
