必考解答题——压轴提升练(二)
解析几何
(建议用时：45分钟)
1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公5
共点，且直线OA与l的距离等于5？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p，所以p＝2，故所求抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
?y＝－2x＋t，
(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝－2x＋t，由?2得
?y＝4x，1
y2＋2y－2t＝0，因为直线与抛物线有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，得t≥－2. 又两平行线的距离d＝
|t|5
＝5，解得t＝±1，舍去t＝－1，所以符合题意的5
直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
2．已知圆C：(x＋3)2＋y2＝16，点A(3，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程；
(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB(O是坐标原点)4
的面积S＝5，求直线AB的方程．
解 (1)由题意|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝4＞23，所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆， x22
即轨迹E的方程为4＋y＝1. (2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意，直线AB的斜率不可能为0，而直线x＝1也不满足条件， 故可设AB的方程为x＝my＋1，
22
?x＋4y＝4，由?消x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0， ?x＝my＋1，
－2m
??y1＋y2＝4＋m2，所以?3
y2＝－.?4＋m2?y1·
2m2＋3112S＝2|OP||y1－y2|＝2?y1＋y2?－4y1y2＝2.
m＋44
由S＝5，解得m2＝1，即m＝±1. 故直线AB的方程为x＝±y＋1， 即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求．
3．已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B，C两点．当→→1
直线l的斜率是2时，AC＝4AB. (1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
11
解 (1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是2时，l的方程为y＝2(x＋4)，即x＝2y－4，
2
?x＝2py，联立?
?x＝2y－4
得2y2－(8＋p)y＋8＝0， 8＋p
y1＋y2＝2，y1y2＝4， →→
由已知AC＝4AB，∴y2＝4y1，
由韦达定理及p＞0可得y1＝1，y2＝4，p＝2， ∴抛物线G的方程为x2＝4y.
(2)由题意知直线l的斜率存在，且不为0，
设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)，
2
?x＝4y，由?得x2－4kx－16k＝0， ?y＝k?x＋4?
由Δ＞0得k＜－4或k＞0， ∴x0＝
xB＋xC2
＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k＋4k. 2
1
BC中垂线方程为y－2k2－4k＝－k(x－2k)， ∴b＝2(k＋1)2，∴b＞2.
x2y22
4．已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x－y＋2＝0相切． (1)求椭圆C的方程；
(2)如图，若斜率为k(k≠0)的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于A，M，N(A点在椭圆右顶点的右侧)，且∠NF2F1＝∠MF2A.求证直线l过定点(2,0)，并求出斜率k的取值范围．
22
c2c2a－b12222
解 (1)由题意知e＝a＝2，∴e＝a2＝a2＝2，即a＝2b.又∵b＝
1＋1
x22
＝1，∴a＝2，b＝1，∴椭圆方程为2＋y＝1.
2
2
(2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． ?y＝kx＋m，由?2得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0. 2
?x＋2y＝2由Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＞0，得m2＜2k2＋1， －4km2m2－2
则有x1＋x2＝2，xx＝. 2k＋1122k2＋1
∵∠NF2F1＝∠MF2A，
且∠MF2A≠90°，kMF2＋kNF2＝0. 又F2(1,0)，则即
y1y2＋＝0， x1－1x2－1
kx1＋mkx2＋m
＋＝0， x1－1x2－1
化简得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0.
－4km2m2－2将x1＋x2＝2，xx＝代入上式得m＝－2k，
2k＋1122k2＋1∴直线l的方程为y＝kx－2k，即直线过定点(2,0)． 将m＝－2k代入m2＜2k2＋1，
1?2?
得4k2＜2k2＋1，即k2＜2，又∵k≠0，∴直线l的斜率k的取值范围是?－，0?
?2??2?
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创新设计文科作业本压轴提升练2
