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《微积分几何》复习题 本科 第一部分：练习题库及答案
一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）
第一章
1．已知a?(1,1,?1),b?(1,0,?1)，则这两个向量的夹角的余弦cos?=
6 32．已知a?(0,1,?1),b?(1,0,?1)，求这两个向量的向量积a?b?(-1,-1,-1)． 3．过点P(1,1,1)且与向量a?(1,0,?1)垂直的平面方程为X-Z=0
4．求两平面?1:x?y?z?0与?2:x?y?2z?1的交线的对称式方程为5．计算lim[(3t?1)i?tj?k]?13i?8j?k．
t?223x?1yz?1 ??3?1?2 6．设f(t)?(sint)i?tj，g(t)?(t?1)i?ej，求lim(f(t)?g(t))? 0 ．
2tt?07．已知r(u,v)?(u?v,u?v,uv)，其中u?t，v?sint，则
2dr?(2t?cost,2t?cost,2vt?ucost) dt8．已知??t，??t，则
2dr(?,?)?(?asin?cos??2atcos?sin?,?asin?sin??2atcos?cos?,acos?) dt649．已知r(t)dt?(?1,2,3)，r(t)dt?(?2,1,2)，求
?2?446?a?r(t)dt?b??a?r(t)dt?(3,?9,5)，其中a?(2,1,1)，b?(1,?1,0)
2210．已知r?(t)?a（a为常向量），求r(t)?ta?c 11．已知r?(t)?ta，（a为常向量），求r(t)?
12ta?c 212．已知f(t)?(2?t)j?(logt)k，g(t)?(sint)i?(cost)j，t?0，则第二章
13．曲线r(t)?(2t,t,e)在任意点的切向量为(2,3t,e)
14．曲线r(t)?(acosht,asinht,at)在t?0点的切向量为(0,a,a) 15．曲线r(t)?(acost,asint,bt)在t?0点的切向量为(0,a,b)
3t2td(f?g)dt?2?6cos4． ?dt04 .
1x?et?t2e?z?1 ?16．设有曲线C:x?e,y?e,z?t，当t?1时的切线方程为
1e2?ey?17．设有曲线x?ecost,y?esint,z?e，当t?0时的切线方程为x?1?y?z?1 第三章
18．设r?r(u,v)为曲面的参数表示，如果ru?rv?0，则称参数曲面是正则的；如果r:G?r(G)是 一一的 ，
则称参数曲面是简单的．
19．如果u?曲线族和v?曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ．(坐标网;易;3分钟) 20．平面r(u,v)?(u,v,0)的第一基本形式为du2?dv2，面积元为dudv
21．悬链面r(u,v)?(coshucosv,coshusinv,u)的第一类基本量是E?cosh2u,F?0,G?cosh2u 22．曲面z?axy上坐标曲线x?x0，y?y0的交角的余弦值是2ttta2x0y0(1?ax0)(1?ay0)2222222 23．正螺面r(u,v)?(ucosv,usinv,bv)的第一基本形式是du?(u?b)dv． 24
．
双
曲
抛
物
面
r(u,v)?(a(u?v),b(u?v),2uv)的第一基本形式是
(a2?b2?4v2)du2?2(a2?b2?4uv)dudv?(a2?b2?4u2)dv2
25．正螺面r(u,v)?(ucosv,usinv,bv)的平均曲率为 0 ．（正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟） 26．方向(d)?du:dv是渐近方向的充要条件是?n(d)?0或Ldu2?2Mdudv?Ndv2?0 27．两个方向(d)?du:dv和(δ)?δu:δv共轭的充要条件是II(dr,δr)?0或Lduδu?M(duδv?dvδu)?Ndvδv?0 28．函数?是主曲率的充要条件是
?E?L?F?M?F?M?0
?G?NEdu?FdvLdu?Mdv?0
29．方向(d)?du:dv是主方向的充要条件是
Fdu?GdvMdu?Ndv30．根据罗德里格定理，如果方向(d)?(du:dv)是主方向，则dn???ndr，其中?n是沿(d)方向的法曲率 31．旋转极小曲面是平面 或悬链面 第四章
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32．高斯方程是rij???rkkijk?Lijn，i,j?1,2，魏因加尔吞方程为ni???Likgkjri，i,j?1,2
j,k1?g2233．g用gij表示为(g)??det(gij)??g12ijij?g12??． g11?34．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线(C)在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面?上的正投影曲线(C)的曲率
?35．?,?g,?n之间的关系是???g??n．
22236．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ．
ijd2ukkdudu37．测地线的方程为???ij?0,k?1,2 2dsdsdsi,jk38．高斯-波涅公式为
??Kd????ds??(???)?2?
giG?Gi?139．如果?G是由测地线组成，则高斯-波涅公式为
??Kd???(???)?2?．
iGi?1k二、单选题
第一章
40．已知a?(?1,0,?1)，b?(1,2,?1)，则这两个向量的内积a?b为（ C ）．（内积；易；2分钟） A 2 B ?1 C 0 D 1
41．求过点P(1,1,1)且与向量a?(?1,0,?1)平行的直线的方程是（ A ）．（直线方程；易；2分钟） A ??x?zx?1y B ??z?1
23?y?1?x?y
C x?1?y?z?1 D ?
z?1?
42．已知a?(1,1,?1),b?(1,0,?1),c?(1,1,1)，则混合积为（ D ）．（混合积；较易；2分钟） A 2 B ?1 C 1 D ?2
43.已知r(t)?(e,t,e)，则r??(0)为（ A ）．（导数；易；2分钟）
t?tＡ (１，０，１) Ｂ (-１，０，１) Ｃ (０，１，１) Ｄ (１，０，-１)
微分几何理解练习知识题目整合及答案解析
