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第 28题 利用导数解决应用问题中的优化问题
I．题源探究·黄金母题
【例1】用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是_________．
【解析】设长方体的宽为xm，则长为2xm，高h?18?12x?4.5?3x(m)43???0＜x＜?．
2??精彩解读 【试题来源】例1是人教版A版选修2-2P37习题1．4A组T1改编题．例2：人教版A版选修2-2P37习题1．4A组T3；例3：人教版A版选修2-2P37习题1．4B组T2． 【母题评析】导数在实际中的应用是高中故长方体的体积为
3V(x)?2x(4.5?3x)?9x?6x(m)(0＜x＜).
22233数中常见的一类典型问题，这类题主要考查如何利用导数解决利润最大问题、面积（体积）最大问题、成本最小问题、用料最省问题等．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等． 【思路方法】 解决优化问题的基本思路： 优化问题 用函数表示的数学问题 从而V?(x)?18x?18x2?18x(1?x).
令V?(X)?0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1． 当0＜x＜1时，V?(X)＞0；当1＜x＜
3时，V?(X)＜0，故在 2x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值．从而最大体积V＝3（m3），此时长方体的长为2 m，高为1．5 m． 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1．5 m时，体积最大，最大体积为3 m3．
【例2】圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径应怎样选择，才能使所用材料最省？
【答案】当罐高与底面直径相等时，所用材料最省．
【解析】设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S?2?Rh?2?R2． 由V??R2h，得h?优化问题的答案 用导数解决数学问题 V，因此?R2S?R??2?R?V2V2?2?R??2?R2,R?0． 2?RR令S??R???2VV3?4?R?0，解得． R?2R2???V?V?3?当R??0,3时，；当时，S??R??0． SR?0??R?,????????2??2?????2
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因此，R?3V是函数S?R?的极小值，也是最小值点． 2?此时，h?VV3?2?2R． ?R22?答：当罐高与底面直径相等时，所用材料最省．
【例3】已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是
4??可卖出c件．市场调查表明，当售价下降10%时，b?b?a?元/件时，3??销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？
【答案】销售价为
4a?5b元/件时，可获得最大利润． 8【解析】设销售价为x元/件时，利润
b?x?5b??4x?L?x???x?a??c?c??4??c?x?a??5??,a?x?．
bb?4???令L??x???当x???a,8cx4ac?5bc??0，解得x?4a?5b． bb8?4a?5b??4a?5b5b?时，?时，；当?Lx?0L?x??0． x?,?????8?4??8因此，x?4a?5b是函数L?x?的极小值，也是最小值点．所以，销售8价为
4a?5b元/件时，可获得最大利润． 84a?5b元/件时，可获得最大利润． 8答：销售价为
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II．考场精彩·真题回放
【例1】【2015高考陕西理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
【命题意图】
这类題是利用导数解决应用问题中的优化问题． 【考试方向】
生活中的实际问题包括利润最大问题、面
【答案】1.2
【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：
积体积最大问题、成本最低问题、用料最省问题等．
导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据．分类讨论思想具有明显的逻辑特征，
y?x
是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧．因此高
原始的最大流量是
1代数式??10?10?2?2??2?16，设抛物线的方程为考对这类题主要考查导数的运算、
2化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决
，因为该抛物线过点?5,2?，所以2p?2?52，x2?2py（p?0）解得p?52525222y，即y?x，所以当前最大流量是问题能力． ，所以x?42255?522?23???2?xdx?2x??????5?25??75x??2240，故3??????2?5??53???2???5?????5???7575????3【难点中心】
1．解决实际应用问题首先要弄清题意，16原始的最大流量与当前最大流量的比值是?1.2，所以答案应填：
40分清条件和结论，理顺数量关系，初步选3择数学模型，然后将自然语言转化为数学
1.2．
【例2】【2016高考江苏17】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P?A1BC11D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD?A并要求正四棱柱的高O1O是正四1BC11D1(如图所示)，棱锥的高PO1的4倍．
（I）若AB?6m,PO1?2m,则仓库的容积是多少？
（II）若正四棱柱的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最
语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；本题已直接给出模型，只需确定其待定参数即可．求解数学模型，得出数学结论，这一步骤在应用题中要求不高，难度中等偏下，本题是一个简单的利用导数求最值的问题．首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率，然后再利用导数求极值与最
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第28题+利用导数解决应用问题中的优化问题-2024精品之高中数学(理)黄金100题系列+Word版含解析
