x2y2又点P?x，y?在双曲线上，所以2?2?1，……(3)
aba2?c2联立（1）(3)方程组可得x?，
2cb2?a2b2?a2联立（1）（2）可得x?2， ?c?a?b2ca2?c2b2?a2所以，所以a2?a2?b2?2b2?2a2， ?2cc即b2?4a2，所以
b?2，所以双曲线的渐近线方程为y??2x，故选C． a
12．已知定义在R上的偶函数f?x?在?0，???上单调递减，若不等式
则实数a的取值范围是（ ） f??ax?lnx?1??f?ax?lnx?1??2f?1?对任意x??1，3?恒成立，
?12?ln3?A．?，? e3??【答案】A
?1?B．?，e?
?e??1???? C．?，?e?D．?2，e?
【解析】因为定义在R上的偶函数f?x?在?0， ???上递减，所以f?x?在???，0?上单调递增，若不等式f??ax?lnx?1??f?ax?lnx?1??2f?1?对于x??1，3?上恒成立， 则2f?ax?lnx?1??2f?1?对于x??1，3?上恒成立， 即f?ax?lnx?1??f?1?对于x??1，3?上恒成立，
所以?1?ax?lnx?1?1对于x??1，3?上恒成立，即0?ax?lnx?2对于x??1，3?上恒成立， 令g?x??ax?lnx，则由g??x??a?（1）当
11?0，求得x?，
ax1?1时，即a?0或a?1时，g??x??0在?1，3?上恒成立，g?x?单调递增， a2?ln3因为最小值g?1??a?0，最大值g?3??3a?ln3?2，所以0?a?，综上可得
32?ln3； 1?a?311?3，即0?a?时，g??x??0在?1，3?上恒成立，g?x?单调递减，
3aln3因为最大值g?1??a?2，最小值g?3??3a?ln3?0，所以?a?2，综合可得，a无解，
3（2）当（3）当1?11?1??3，即?a?1时，在?1，?上，g??x??0恒成立，g?x?为减函数， a3?a??1?3?上，g??x??0恒成立，g?x?单调递增， 在?，a??1?1?故函数最小值为g???1?ln，g?1??a，g?3??3a?ln3，g?3??g?1??2a?ln3，
a?a?①若2a?ln3?0，即ln3?a?1，因为g?3??g?1??0，则最大值为g?3??3a?ln3，
112?ln3，综上可得ln3?a?1； ?0，g?3??3a?ln3?2，求得?a?ae311②若2a?ln3?0，即?a?ln3?ln3，因为g?3??g?1??0，则最大值为g?1??a，
32111此时，最小值1?ln?0，最大值为g?1??a?2，求得?a?2，综合可得?a?ln3，
aee2?ln3112?ln3综合（1）（2）（3）可得1?a?或ln3?a?1或?a?ln3，即?a?．故
3ee3此时，由1?ln选A．
第Ⅱ卷
卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13．?x?1?的展开式中x2的系数为__________． 【答案】?21
【解析】利用通项公式Tr?1?C7xr7?r7???1?，令7?r?2，r?5，则展开式中x2的系数为
r?C57??21．
?2x?y?0?14．若实数x，y满足?y?x且z?2x?y的最小值为3，则实数b的值为__________．
?y??x?b?【答案】
9 4【解析】画出可行域，
?y??x?bb2b?b2b?当目标函数z?2x?y过点B时取得最小值，由?得B?,?，则2???3，
2x?y?03333???解得b?9． 415．在△ABC中，AB?2，AC?3，BC边上的中线AD?2，则△ABC的面积为__________． 【答案】315 4【解析】由题意，延长AD至E，使得DE?AD?2，可证△BDE≌△CDA，其面积相等， 故△ABC的面积等于△ABE的面积S，由已知数据可得AB?2，AE?4，BE?AC?3，
22?32?421在△ABE中由余弦定理可得cos?ABE???，
2?2?34所以sin?ABE?1?cos2?ABE?15115315，所以S??2?3?． ?4244
16．已知单位向量i，j，k两两的夹角均为?(0???π，且??π)，若空间向量a满足2a?xi?yj?zk?x，y，z?R?，则有序实数组?x,y,z?称为向量a在“仿射”坐标系
O?xyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a??x，y，z??，有下列命题：
①已知a??13b?0； ，，?2??，b??4，0，2??，则a·②已知a??x,y,0?π，b??0,0,z?π，其中x，y，z均为正数，则当且仅当x?33y时，向量
a，b的夹角取得最小值；
③已知a??x1，y1，z1??，b??x2，y2，z2??，则a?b??x1?x2，y1?y2，z1?z2??；
uuuruuuruuur0，0?π，OB??0，1，0?π，OC??0，0，1??，则三棱锥O?ABC的表面积④已知OA??1，333S?2．其中真命题为__________．(写出所有真命题的序号)
【答案】②③
【解析】由题意，①若a??13，，?2??，b??4，0，2??，
则a?b??i?3j?2k???4i?2k??12i?j?6k?i?6k?j?12cos?，则a?b?0，所以不正确； ②如图，设OB?b，OA?a，则点A在平面xOy上，点B在z轴上，由图易知当x?y时，
uuuruuur?AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，所以是正确的；
③已知a??x1，y1，z1??，则a?b??x1?x2?i??y1?y2?j??z1?z2?k， b??x2，y2，z2??，所以a?b??x1?x2，y1?y2，z1?z2??，所以是正确的；
uuuruuuruuur0，0?π，OB??0，1，0?π，OC??0，0，1??，则三棱锥O?ABC为正四面体，棱长④由OA??1，333为1，其表面积为S?4?13??1?3，所以不正确．故选②③． 22三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知?an?是等比数列，a1?2，且a1，a3?1，a4成等差数列． （1）求数列?an?的通项公式；
（2）若bn?log2an，求数列?bn?前n项的和．
【答案】（1）an?2?2n?1?2nn?N*；（2）Sn???n?n?1?2?n?N?．
*q2?2q2，a4?a1·q3?2q3，因为a1，a3?1，【解析】（1）设数列?an?公比为q，则a3?a1·a4成等差数列，所以a1?a4?2?a3?1?，即2?2q3?22q2?1，
整理得q2???q?2??0，
因为q?0，所以q?2， 所以an?2?2n?1?2nn?N*．
n（2）因为bn?log2an?log22?n，
??所以Sn?b1?b2?L?bn?1?2?L?n?n?n?1?2?n?N?．
*18．（12分）某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k，当k?85时，产品为一级品；当75?k?85时，产品为二级品，当70?k?75时，产品为三级品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：(以下均视频率为概率)
A配方的频数分配表：
指标值分组 频数 80? ?75，10 85? ?80，30 90? ?85，40 95? ?90，20 B配方的频数分配表：
指标值分组 频数 75? ?70，5 80? ?75，10 85? ?80，15 90? ?85，40 95? ?90，30 （1）若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C发生的概率P?C?；
?t，k?85?275?k?85，其中（2）若两种新产品的利润率y与质量指标k满足如下关系：y??5t，?t2，?70?k?75
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考数学信息卷(十二)理
