第 三 节 全微分及其应用
教学目的：学习和掌握多元函数（以二元函数为主）全微分的定义，掌握二元函数可微与偏导
数存在之间的关系，会求多元函数的全微分．
教学重点：可微与偏导数存在之间的关系，多元函数的全微分． 教学难点：计算多元函数的全微分． 教学内容：
一、全微分的定义
我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率．根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得
f(x??x,y)?f(x,y)?fx(x,y)?x， f(x,y??y)?f(x,y)?fy(x,y)?y．
上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的偏增量，而右端分别叫做二元函数对x和对y的偏微分．
设函数z?f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域内有定义，并设P?(x??x,y??y)为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差f(x??x,y??y)?f(x,y)为函数在点P对应于自变量增量?x、?y的全增量，记作?z，即
?z?f(x??x,y??y)?f(x,y) （1）
一般说来，计算全增量?z比较复杂．与一元函数的情形一样，我们希望用自变量的增量?x、?y的线性函数来近似的代替函数的全增量?z,从而引入如下定义
定义 如果函数z?f(x,y)在点P(x,y)的全增量
?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)
可表示为
?z?A?x?B?y?o(?)， （2）
22其中A、B不依赖于?x、?y而仅与x、y有关，?＝(?x)?(?y)，则称函数z?f(x,y)在点P(x,y)可微分，而A?x?B?y称为函数z?f(x,y)在点P(x,y)的全微分，记作dz，即 dz?A?x?B?y．
在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证函数在该点连续．但是，
如果函数z?f(x,y)在点P(x,y)可微分，由（2）式可得 lim?z?0 ，
??0从而
?x?0?y?0lim(x??x,y??y)?lim[(x,y)??z]?f(x,y)．
???0因此，函数z?f(x,y)在点P(x,y)处连续．
下面讨论函数z?f(x,y)在点P(x,y)可微分的条件．
定理1（必要条件） 如果函数z?f(x,y)在点P(x,y)可微分，则该函数在点P(x,y)的偏导数
?z、?x?z必定存在，且函数z?f(x,y)在点P(x,y)的全微分为 ?y
dz=
?z?z?x+?y． （3） ?x?y证 设函数z?f(x,y)在点P(x,y)可微分．于是， ?P?(x??x,y??y)?U(P)，（2）式总成立．特别当?y?0 时（2）式也应成立，这时??|?x|，所以（2）式成为
f(x??x,y)?f(x,y)?A??x?o(|?x|) ．
上式两边各除以?x，再令?x?0而取极限，就得
lim?x?0f(x??x,y)?f(x,y)?A，
?x从而偏导数
?z?z存在且等于A． 同理可证=B．所以（3）式成立．证毕． ?x?y我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件．但对于多元函数来说，情形就不同了．当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出
?z?z?x+但它与?z之差并不一定是较?高?y，?x?y阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分．换句话说，各偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件．例如，函数
xy?,x2?y2?0,?2z?f(x,y)=?x?y2
?0,x2?y2?0?在点P(0,0)处有 fx(0,0)?0 及 fy(0,0)?0，所以
?z?[fx(0,0)??x?fy(0,0)??y]=?x??y(?x)?(?y)22,
如果考虑点P?(x??x,y??y)沿着直线y?x 趋于P(0,0)，则
?x??y
(?x)2?(?y)2???x??y?x??x1, ??2222(?x)?(?y)(?x)?(?x)2这表示??0时，?z?[fx(0,0)??x?fy(0,0)??y]并不是较?高阶的无穷小，因此函数在点P(0,0)处的全微分并不存在，即函数在点P(0,0)处是不可微分的．
由定理1及这个例子可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件．但是，如果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的，即有下面定理．
定理2（充分条件） 如果函数z?f(x,y)的偏导数
?z?z、在点P(x,y)连续，则函数在该点可微分． ?x?y证 我们只讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以假定偏导数在点P(x,y)连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思（以后凡说到偏导数在某一点连续均应如此理解）．设点
P(x??x,y??y)为这邻域内任意一点，考察函数的全增量
?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)
?[f(x??x,y??y)?f(x,y??y)]?[f(x,y??y)?f(x,y)]．
应用拉格朗日中值定理，得到
?z?f(x??x,y??y)?f(x,y??y)?x?fx(x??1?x,y??y)
(0??1?1)
又假设fx(x,y)在点P(x,y)连续，所以上式可写为
f(x??x,y??y)?f(x,y??y)?fx(x,y)?x??1?x （4）
其中?1为?x、?y的函数，且当?x?0，?y?0 时，?1?0． 同理可证第二个方括号内的表达式可写为
f(x,y??y)?f(x,y)?fy(x,y)?y??2?y，
（5）
其中?2为 ?y的函数，且当?y?0时，?2?0 ．
由（4）、（5）式可见，在偏导数连续的假定下，全增量?z可以表示为
?z?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y??1?x??2?y．
（6）
容易看出
?1?x??2?y??1??2，
?它是随着?x?0，?y?0即??0而趋于零． 这就证明了z?f(x,y) 在点P(x,y)是可微分的．
以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推广到三元和三元以上的多元函数．
习惯上，我们将自变量的增量?x、?y分别记作dx、dy，并分别称为自变量x、y的微分．这样，函数z?f(x,y)的全微分就可以写为
dz=
?z?zdx+dy ?x?y (7)
我们称
?z?zdx与dy分别为函数z?f(x,y)对自变量x、y的偏微分，那么二元函数的全微分?x?y等于它的两个偏微分之和，这一结论也称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理也适用于二元以上的函数．如果三元函数u??(x,y,z)可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和，即
du??u?u?udx?dy?dz． ?x?y?z例1 计算函数z?e在点(2,1)处的全微分． 解 因为
xy?z?z?yexy, ?xexy ?x?y
?z?x?e2,
x?2y?1?z?y?2e2,
x?2y?1 所以
dz=e2dx?2e2dy．
例2 计算函数u?x?siny?eyz的全微分． 2解 因为
?u?u?u1y?1, ?yeyz, ?cos?zeyz, ?x?z?y22所以
du=dx?(
1ycos?zeyz )dy +yeyzdz． 22小结与思考：
本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为重点）全微分的定义、存在条件和求法．
函数z?f(x,y)的全微分存在性与它的偏听偏信导数的存在性之间有何关系？
作业：
作业卡p11
第 三 节 全微分及其应用
