教学资料范本 2020高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数的应用第1课时利用导数研究函数的单调性试题理北师大 编 辑：__________________ 时 间：__________________ 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 1 / 8 (建议用时：40分钟) 一、选择题1.函数f(x)＝xln x，则( ) A.在(0，＋∞)上递增 C.在上递增 D.在上递减 解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)>0得x>，令f′(x)<0得00. 答案 C 3.已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件. 答案 A 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 2 / 8 4.已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( ) 解析 由y＝f′(x)的图像知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢. 答案 B 5.设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A.(1，2] B.(4，＋∞] D.(0，3] C.[－∞，2) 解析 ∵f(x)＝x2－9ln x，∴f′(x)＝x－(x>0)， 当x－≤0时，有00且a＋1≤3，解得10得x>1. 答案 (1，＋∞) 7.已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则实数a的取值范围是________. 解析 f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex ＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex， 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 3 / 8 由题意当x∈[－1，1]时，f′(x)≤0恒成立， 即x2＋(2－2a)x－2a≤0在x∈[－1，1]时恒成立. 令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a， ?g（－1）≤0，则有? ?g（1）≤0，即解得a≥. ?3?答案 ?4，＋∞? ??8.(20xx·合肥模拟)若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________. 解析 对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a. 当x∈时， f′(x)的最大值为f′＝＋2a. 令＋2a>0，解得a>－. 所以实数a的取值范围是. ?1?答案 ?－9，＋∞? ??三、解答题 9.(20xx·北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4. (1)求a，b的值； (2)求f(x)的单调区间. 解 (1)∵f(x)＝xea－x＋bx，∴f′(x)＝(1－x)ea－x＋b. ?2ea－2＋2b＝2e＋2，由题意得即? ?－ea－2＋b＝e－1，解得a＝2，b＝e. (2)由(1)得f(x)＝xe2－x＋ex， 4 / 8 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x>0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号. 令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1. 当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，1)上递减； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上递增， ∴g(x)≥g(1)＝1在R上恒成立， ∴f′(x)>0在R上恒成立. ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞). 10.设函数f(x)＝x3－x2＋1. (1)若a>0，求函数f(x)的单调区间； (2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围. 解 (1)由已知得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0； 当x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)， 单调递减区间为(0，a). (2)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)， 使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立， 即x∈(－2，－1)时，a<＝－2， 当且仅当x＝即x＝－时等号成立. 所以满足要求的实数a的取值范围是(－∞，－2). 能力提升题组 (建议用时：20分钟) 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 5 / 8
