上海 上海师范大学附属高桥实验中学数学圆 几何综合同步单元检
测（Word版 含答案）
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．如图，二次函数y=x2-2mx+8m的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边且OA≠OB),交y轴于点C，且经过点（m，9m）,⊙E过A、B、C三点。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E的坐标；
（3）过抛物线上一点P（点P不与B、C重合）作PQ⊥x轴于点Q，是否存在这样的点P使△PBQ和△BOC相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由
【答案】（1）y=x+2x-8（2）（-1，-
2
7171315）（3）（-8，40），（-，-），（-，-4162425） 16【解析】
分析：（1）把?m,9m?代入解析式，得：m2?2m2?8m?9m，解这个方程可求出m的值；
（2）分别令y=0和x=0，求出OA，OB，OC及AB的长，过点E作EG?x轴于点
G,EF?y轴于点F,连接CE，AE,设OF=GE=a,根据AE?CE ，列方过程求出a的值，
从而求出点E的坐标；
2（3）设点P(a, a2+2a-8)， 则PQ?a?2a?8,BQ?a?2，然后分PBQ∽CBO时
和PBQ∽BCO时两种情况，列比例式求出a的值，从而求出点P的坐标.
详解：（1）把?m,9m?代入解析式，得：m2?2m2?8m?9m 解得：m1??1,m2?0（舍去） ∴y?x2?2x?8
2（2）由（1）可得：y?x?2x?8，当y?0时，x1??4,x2?2;
∵点A在点B的左边 ∴OA?4，OB?2 ， ∴AB?OA?OB?6， 当x?0时，y??8， ∴OC?8
过点E作EG?x轴于点G,EF?y轴于点F,连接CE，则AG?,
11AB??6?3 ， 22
，则
， ，
2设
在Rt?AGE中，在
中，
CE2?EF2?CF2?1??8?a?，
∵AE?CE ，
∴9?a2?1??8?a? ，
2解得：a?7 ， 27?? ； 2?? ∴E??1，??（3）设点P?a,a2?2a?8?，
则PQ?a?2a?8,BQ?a?2， a.当?PBQ∽?CBO时，
2a2?2a?88PQCO??， ，即BQOBa?22解得：a1?0（舍去）；
a2?2（舍去）；a3??8 ，
∴P1??8,40? ；
b.当?PBQ∽?BCO时，
a2?2a?82PQBO?，即?， BQCOa?28解得：a1?2（舍去），a2??∴P2??1517；a3?? ， 44?1523??1725?,??；P3??，? ； ?416??416??1523??1725?,??，P3??，? ?416??416?P?综上所述，点P的坐标为：P1??8,40?，2?点睛：本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、相似三角形的性质是解答本题的关键.
2．在直角坐标系中，A（0，4），B（4
，0）．点C从点B出发沿BA方向以每秒2个单
位的速度向点A匀速运动，同时点D从点A出发沿AO方向以每秒1个单位的速度向点O匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C、D运动的时间是t秒(t>0)．过点C作CE⊥BO于点E，连结CD、DE． ⑴ 当t为何值时，线段CD的长为4；
⑵ 当线段DE与以点O为圆心，半径为的⊙O有两个公共交点时，求t的取值范围； ⑶ 当t为何值时，以C为圆心、CB为半径的⊙C与⑵中的⊙O相切？
【答案】(1)【解析】
; (2) 4-＜t≤; (3)或
．
试题分析：（1）过点C作CF⊥AD于点F，则CF，DF即可利用t表示出来，在Rt△CFD中利用勾股定理即可得到一个关于t的方程，从而求得t的值；
（2）易证四边形ADEC是平行四边形，过点O作OG⊥DE于点G，当线段DE与⊙O相切
时，则OG=，在直角△OEG中，OE可以利用t表示，则OG也可以利用t表示出来，当OG＜时，直线与圆相交，据此即可求得t的范围；
（3）分两圆外切与内切两种情况进行讨论，当外切时，圆心距等于两半径的和，当内切时，圆心距等于圆C的半径减去圆O的半径，列出方程即可求得t的值． （1）过点C作CF⊥AD于点F，
在Rt△AOB中，OA=4，OB=4∴∠ABO=30°，
由题意得：BC=2t，AD=t， ∵CE⊥BO，
∴在Rt△CEB中，CE=t，EB=∵CF⊥AD，AO⊥BO， ∴四边形CFOE是矩形， ∴OF=CE=t，OE=CF=4∴（4-t-t）2+（4解得：t=
--t，
在Rt△CFD中，DF2+CF2=CD2，
，
t，
t）2=42，即7t2-40t+48=0，
，t=4，
∵0＜t＜4， ∴当t=
时，线段CD的长是4；
（2）过点O作OG⊥DE于点G（如图2），
∵AD∥CE，AD=CE=t
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE∥AB ∴∠GEO=30°， ∴OG=OE=（4
-t）
当线段DE与⊙O相切时，则OG=， ∴当（4∴当 4--t）＜，且t≤4-时，线段DE与⊙O有两个公共交点．
＜t≤时，线段DE与⊙O有两个公共交点；
；
（3）当⊙C与⊙O外切时，t=当⊙C与⊙O内切时，t=∴当t=
或
；
秒时，两圆相切．
考点：圆的综合题．
3．已知圆O的半径长为2，点A、B、C为圆O上三点，弦BC=AO，点D为BC的中点，
(1)如图，连接AC、OD，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD； (2)如图，当点B为AC的中点时，求点A、D之间的距离：
(3)如果AD的延长线与圆O交于点E，以O为圆心，AD为半径的圆与以BC为直径的圆相切，求弦AE的长．
【答案】（1）?AOD?150??2?；（2）AD?【解析】 【分析】
（1）连接OB、OC，可证△OBC是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC等于30°，OA=OC可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD的值. （2）连接OB、OC，可证△OBC是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB等于30°，因为点D为BC的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD、AD的长.
（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关
7；（3）33?133?1 or22
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