同理应有
?i2??12 C
式中，?12 C为光线在波导层和衬底层的交界面上发生全反射的临界角
④
?12 C?arcsin??n2?? n?1?
⑤
由题设n1?n0?n2，可知
⑥ ?10 C??12 C 00251786240251785216251781120251782144251783168251784192所以，当入射角
?n??i1?arcsin?0?时，光被完全限制在波导薄膜里。
?n1?（2）考虑光波在波导薄膜中传播时处于临界的全反射状态。此时光波的波长可由光的入射角
?n??i1?arcsin?0??n1? 决定。此时光在介质n1与n0交界面的反射处于全反射的临界状态，光在介质n1与n2交界面的反射也为全反射。如右图所示，?10和?12分别为1和0界面以及1和
?i?10?i?12φ12 l A θi1 θi1 φ10 B d 2界面上的反射引入的相位（r10?e和r12?e）。
过1和2界面上的反射点做直线（虚线）垂直于光线A，设光线A到虚线之前的路程长为l。此后，光线A与再经过两次反射的光线B之间的相位差应该为2?的整数倍，以致光可在波导薄膜中传输。故
2dsec?i1?l2m??2???10??12?2dsec?i1?2dtan?i1sin?i1 ?2???10??12? ⑦
4d?cos?i1 ???10??12?2n04d? ?1?2??10??12?n1式中，m?0,1,2,3,，?为所传输光波在波导薄膜介质中的波长。
考虑介质n1与n0交界面的反射，由①式得
nsin?i1 sin?t0?1?1
n0考虑到⑧式，在介质n1与n0交界面的反射系数为
ncos?i1?n0cos?t0n1cos?i1 r10?1??1
n1cos?i1?n0cos?t0n1cos?i1
⑧
⑨
由上式可以得到介质n1与n0交界面的反射相位
⑩ ?10?0
再考虑介质n1与n2交界面的反射，由①式得
nsin?i1n0sin?t2?1? ?
n2n2按照题给的推广的定义，上式右边大于或等于1也并不奇怪。当n0?n2时，按照题给的推广的正弦和余弦的定义可知，cos?t2是一个纯虚数，可以写为
2n0cos?t2?i2?1n2
?
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考虑到?式，则在介质n1与n2交界面的反射系数为 ncos?i1?n2cos?t2r12?1?n1cos?i1?n2cos?t222?n0?n2?exp???2iarctann2?n222n0n010?n11?2?n2i2?1n1n222n0n0n11?2?n2i2?1n1n2? ????
由上式可以得到介质n1与n2交界面的反射相位为
22n0?n2?12?2arctan2 2n1?n0 ?
将⑩和?式代入到⑦式中得，在给定m的情况下能在薄膜波导中传输的光波在该介质中的的最长波长（截止波长）为
2n02?d1?2n1??m??arctann?nn?n20212220 ?
式中，m?0,1,2,3,。当m?0时可得，能在薄膜波导中传输的光波在该介质中的的最长波长为
?max?2n02?d1?2n1arctann?nn?n20212220
?
?n0?评分参考：第（1）问10分，①②式各2分，③④式各1分，给出“入射角?i1?arcsin??时，
?n1?光被完全限制在波导薄膜里”的结论给2分，⑤⑥式各1分；第（2）问10分，⑦式2分，⑨⑩??????式各1分。
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第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题及答案
