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习题7.1
1.在空间直角坐标系中，指出下列各点位置的特点.
A?0,?5,0?；B?3,?3,0?；C?6,0,?3?；D?4,0,0?；E?0,5,?7?；F?0,0,9?.
【解】A点在y轴上；B点在xoy坐标面上；C点在zox坐标面上；D点在x轴上；E点在yoz坐标面上；F点在z轴上. 2.指出下列各点所在的卦限.
A?2,?3,1?；B?7,?1,?2?；C??2,?3,?1?；D??1,2,?3?.
【解】A点在第五卦限；B点在第三卦限；C点在第七卦限；D点在第六卦限. 3.自点M??1,3,?2?分别作xoy、yoz、zox坐标面和x、y、z坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标，并求出点M到上述坐标面和坐标轴的距离.
【解】M??1,3,?2?在xoy坐标面上的垂足为??1,3,0?、在yoz坐标面上的垂足为
?0,3,?2?、在zox坐标面上的垂足为??1,0,?2?；
M??1,3,?2?在x轴的垂足为??1,0,0?、在y轴的垂足为?0,3,0?、在z轴的垂
足为?0,0,?2?；
M??1,3,?2?到x轴的距离为32???2??13；
2M??1,3,?2?到y轴的距离为M??1,3,?2?到z轴的距离为
??1?2???2?2??1?2?32?5；
?10.
3.已经点M?3,?1,?2?.求：（1）点M关于各坐标面对称点的坐标；（2）点M关于各坐标轴对称点的坐标；（3）点M关于坐标原点的对称点的坐标. 【解】（1）M?3,?1,?2?关于xoy面对称点的坐标是?3,?1,2,?； M?3,?1,?2?关于yoz面对称点的坐标是??3,?1,?2,?；
M?3,?1,?2?关于zox面对称点的坐标是?3,1,?2,?.
可修改
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（2）M?3,?1,?2?关于x轴对称点的坐标是?3,1,2,?； M?3,?1,?2?关于y轴对称点的坐标是??3,?1,2,?；
M?3,?1,?2?关于z轴对称点的坐标是??3,1,?2,?.
（3）M?3,?1,?2?关于坐标原点的对称点的坐标是??3,1,2,?. 5.求点A?4,?3,5?到坐标原点和各坐标轴的距离.
【解】 A?4,?3,5?到坐标原点距离为42???3??52?52；
2 A?4,?3,5?到x轴的距离为??3?2?52?34；
A?4,?3,5?到y轴的距离为42?52?41； A?4,?3,5?到z轴的距离为42???3??5.
2 6.在y轴上求与点A??3,2,7?和B?3,1,?7?等距离的点. 【解】设所求点为C?0,y,0?.据题意，有 AC?BC，即
?0???3??2??y?2?2??0?7?2解得 y?
??0?3?2??y?1?2??0???7??2
3?3?.所以，所求之点为C?0,,0?. 2?2?7.已知三角形ABC的顶点坐标分别为A?1,2,3?、B?7,10,3?和C??1,3,1?，试证明 ∠BAC为钝角. 【解】AB边长c?AB? AC边长b? BC边长a?由余弦定理知 cos∠BAC??7?1?2??10?2?2??3?3?2?10；
???1??1?2??3?2?2??1?3?2?3； ?117.
???1??7?2??3?10?2??1?3?2b?c?a3?10?117?2bc2?3?1022222??2?0，
可修改
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所以，∠BAC为钝角.
8.试在xoy面上求一点，使它到A?1,?1,5?、B?3,4,4?和C?4,6,1?各点的距离相等. 【解】设所求点为D?x,y,0?.据题意，有 AD?BD?CD，即
?x?1?2??y???1??2??0?5?2???x?3?2??y?4?2??z?4?2
?x?4?2??y?6?2??z?1?2
解得 x?16,y??5.所以，所求之点为D?16,?5,0?.
习题7.2
1.设平行四边形ABCD的对角线向量AC?a,BD?b，试用a，b表示
AB,BC,CD,DA.
【解】记平行四边形ABCD的对角线的交点为O.
AB?DC?OC?OD?11111AC?BD?a?b?a?b； 22222111同理可求出，BC?BO?OC?b?a?a?b；
2221 CD??AB?b?a；
21 DA??BC??a?b .
2????????2.已知向量a?3m?2n，a?m?n.试用向量m,n表示2a?3b. 【解】2a?3b?23m?2n?3m?n?3m?7n.
3.设u?a?b?2c，v??a?3b?c.试用向量a,b,c表示2u?3v. 【解】2u?3v?2a?b?2c?3?a?3b?c?5a?11b?7c. 4.设ABCDEF是一个正六边形，a?AB,b?AF，试用a，b表示
????????BC,CD,DE,EF.
【解】记六边形ABCDEF的对角线的交点为O.则四边形ABOF、CDEO、DEFO可修改
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及ABCO均为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则知，
BC?AO?AB?AF?a?b； CD?AF?b；
DE?AO?BA??BA??a；
EF??BC??a?b.
5.设向量a?axi,?ayj?azk，若它满足下列条件之一：
（1）a垂直于z轴；（2）a垂直于xoy面；（3）a平行于yoz面.那么它的坐标有什么有何特征？ 【解】
（1）因为a垂直于z轴，故a.k?0，即az?0；
（2）因为a垂直于xoy面，故a平行于z轴，从而a∥k??0,0,1?，所以，
ax?ay?0.
??（3）a平行于yoz面，故垂直于x轴，从而a.i?0，所以，ax?0. 6.已知向量AB??4,?4,7?，它的终点坐标为B?2,?1,7?，求它的起点坐标. 【解】设起点A?x,y,z?，则AB??2?x,?1?y,7?z?，根据已知条件，有
2?x?4,?1?y??4,7?z?7，解得 x??2,y?3,z?0.所以，起点坐标为 A??2,3,0?.
7.已知向量a??6,1,?1?，b??1,2,0?.求 （1）向量c?a?2b； （2）向量c的方向余弦； （3）向量c的单位向量. 【解】
可修改
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1,2,0???6,1,?1???2,4,0???6?2,1?4,?1?0???4,?3,?1?. （1）c??6,1,?1??2?（2）c?42???3????1??26.故，c0?221?431?c??,?,??，
2626??26c326,cos???126.
所以，向量c的方向余弦为cos??426,cos????431?（3）.向量c的单位向量为??,?,??.
2626??268.试确定m和n的值，使向量a??2i?3j?nk和b?mi?6j?2k平行. 【解】因为a∥b，所以
?23n??，解得 m?4,n??1. m?629.已知向量b??8,9,?12?及点A??2,?1,7?，由点A作向量AM，使AM?34， 且AM与b的方向相同.求向量AM的坐标表达式及点M的坐标.
【解】设M?x,y,z?，则AM??x?2,y?1,z?7?.据题意知AM∥b且与b同向，因此有
x?2y?1z?7????，① 且 ??0. ② 89?12由①式得 x?2?8?,y?1?9?,z?7?12?. 又已知 AM?34，故有 ③式化简得
289?2?1156??2?4，
解得 ??2或???2（舍）.所以，x?18,y?17,z??17.
16,18,?24?，M??18,17,?17?. 因此AM???8??2??9??2??12??2?34. ③
10.已知点A??1,2,?4?和点B?6,?2,z?，且AB?9，求z的值. 【解】AB??6???1?,?2?2,z???4????7,?4,z?4?.由AB?9，得
72???4???z?4??9，化简得
22可修改
高等数学(本科)第七章课后习题解答
