第十七届全国中学生物理竞赛复赛试题参考答案
一、解：设玻璃管内空气柱的长度为ｈ，大气压强为ｐ０，管内空气的压强为ｐ，水银密度为ρ，重ｐ＋（ｌ－ｈ）ρｇ＝ｐ０， ① 依照题给的数据，可知ｐ０＝ｌρｇ，得 ｐ＝ρｇｈ， ②
若玻璃管的横截面积为S，则管内空气的体积为 Ｖ＝Ｓｈ， ③ 由②、③式，得
ｐ＝（Ｖ／Ｓ）ρｇ， ④
即管内空气的压强与其体积成正比，由克拉珀龙方程ｐＶ＝ｎＲＴ，得
2
力加速度为ｇ，由图4知
ρｇ（Ｖ／Ｓ）＝ｎＲＴ， ⑤
由⑤式可知，随着温度降低，管内空气的体积变小，依照④式可知管内空气的压强也变小，压强随体积的变化关系为ｐ－Ｖ图上过原点的直线，如图5所示．在管内气体的温度由Ｔ１降到Ｔ２的过程中，气体的体积由Ｖ１变到Ｖ２，体积缩小，外界对气体做正功，功的数值可用图中划有斜线的梯形面积来表示，即有
图4
图5
2
Ｗ＝（1／2）ρｇ（（Ｖ１／Ｓ）＋（Ｖ２／Ｓ））（Ｖ１－Ｖ２）＝ρｇ（Ｖ１－Ｖ２）／2Ｓ， ⑥ 管内空气内能的变化为
ΔＵ＝ｎＣＶ（Ｔ２－Ｔ１）， ⑦ Ｑ＝ΔＵ－Ｗ， ⑧
2
设Ｑ为外界传给气体的热量，则由热力学第一定律Ｗ＋Ｑ＝ΔＵ，有 由⑤、⑥、⑦、⑧式代入得
Ｑ＝ｎ（Ｔ２－Ｔ１）（ＣＶ＋（1／2）Ｒ）， ⑨
代入有关数据得 Ｑ＝－0．247Ｊ，
Ｑ′＝－Ｑ＝0．247Ｊ． （10）
二、解：在由直线ＢＣ与小球球心Ｏ所确定的平面中，激光光束两次折射的光路ＢＣＤＥ如图6所
Ｑ＜0，表示管内空气放出热量，故空气放出的热量为
示，图中入射光线ＢＣ与出射光线ＤＥ的延长线交于点Ｇ，按照光的折射定律有
图6
ｎ0ｓｉｎα＝ｎｓｉｎβ， ①
式中α与β分别是相应的入射角和折射角，由几何关系还可知 ｓｉｎα＝ｌ／ｒ． ②
激光光束经两次折射，频率ν保持不变，故在两次折射前后，光束中一个光子的动量的大小ｐ和ｐ′相等，即
ｐ＝ｈν／ｃ＝ｐ′， ③
式中ｃ为真空中的光速，ｈ为普朗克常量．因射入小球的光束中光子的动量ｐ沿ＢＣ方向，射出小球的光束中光子的动量ｐ′沿ＤＥ方向，光子动量的方向由于光束的折射而偏转了一个角度2θ，由图中几何关系可知
2θ＝2（α－β）． ④
若取线段ＧＮ１的长度正比于光子动量ｐ，ＧＮ２的长度正比于光子动量ｐ′，则线段Ｎ１Ｎ２的长度正比于光子动量的改变量Δｐ，由几何关系得
Δｐ＝2ｐｓｉｎθ＝2（ｈν／ｃ）ｓｉｎθ， ⑤
△ＧＮ１Ｎ２为等腰三角形，其底边上的高ＧＨ与ＣＤ平行，故光子动量的改变量Δｐ的方向沿垂直ＣＤ的方向，且由Ｇ指向球心Ｏ．光子与小球作用的时刻可认为是光束在小球内的传播时刻，即
Δｔ＝2ｒｃｏｓβ／（ｃｎ０／ｎ）， ⑥
ｆ＝Δｐ／Δｔ＝ｎ0ｈνｓｉｎθ／ｎｒｃｏｓβ， ⑦ 按照牛顿第三定律，光子对小球的平均作用力大小Ｆ＝ｆ，即
Ｆ＝ｎ０ｈνｓｉｎθ／ｎｒｃｏｓβ， ⑧
力的方向由点Ｏ指向点Ｇ．由①、②、④及⑧式，通过三角函数关系运算，最后可得
式中ｃｎ０／ｎ是光在小球内的传播速率，按照牛顿第二定律，光子所受小球平均作用力的大小为
Ｆ＝（ｎ０ｌｈν／ｎｒ）（1－
2
）． ⑨
三、解：1．相距为ｒ的电量为Ｑ１与Ｑ２的两点电荷之间的库仑力ＦＱ与电势能ＵＱ公式为 ＦＱ＝ｋ（Ｑ１Ｑ２／ｒ），ＵＱ＝－ｋ（Ｑ１Ｑ２／ｒ）， ① Ｕ（ｒ）＝－ｋ（4ａｓ／3ｒ），
依照直截了当类比可知，正反顶夸克之间的强相互作用力为 Ｆ（ｒ）＝－ｋ（4ａｓ／3ｒ）， ② ），二者的运动方程均为
ｍ1ｖ／（ｒ０／2）＝ｋ（4ａｓ／3ｒ０）． ③ 2ｍ１ｖ（ｒ０／2）＝ｈ／2π． ④ 由③与④两式，解得
2
2
2
２
现在已知正反顶夸克之间的强相互作用势能为
设正反顶夸克绕其连线的中点做匀速圆周运动的速率为ｖ，因二者相距ｒ０，二者所受的向心力均为Ｆ（ｒ
０
由题给的量子化条件，粒子处于基态时，取量子数ｎ＝1，得
ｒ０＝3ｈ／8πｍ１ａｓｋ， ⑤ 代入数据得 ｒ０＝1．4×10
－17
2２
ｍ． ⑥
2．由③、④两式，可得
ｖ＝（π／ｈ）（ｋ4ａｓ／3）， ⑦
Ｔ＝2π（ｒ０／2）／ｖ＝ｈ／2πｍ1（ｋ4ａｓ／3）， ⑧
3
２
2
由ｖ和ｒ０可算出正反顶夸克做匀速圆周运动的周期Ｔ为 代入数值得
Ｔ＝1．8×10
－24
ｓ， ⑨
由此可知
τ／Ｔ＝0．22． （10）
因正反顶夸克的寿命只有它们组成的束缚系统的周期的1／5，故正反顶夸克的束缚态通常是不存在四、解：1．设太阳的质量为Ｍ０，飞行器的质量为ｍ，飞行器绕太阳做圆周运动的轨道半径为Ｒ．依的．
照所设计的方案，可知飞行器是从其原先的圆轨道上某处动身，沿着半个椭圆轨道到达小行星轨道上的，该椭圆既与飞行器原先的圆轨道相切，又与小行星的圆轨道相切．要使飞行器沿此椭圆轨道运动，应点燃发动机使飞行器的速度在极短的时刻内，由ｖ０变为某一值ｕ０．设飞行器椭圆轨道达小行星轨道到时的速度为ｕ，因大小为ｕ０和ｕ的这两个速度的方向都与椭圆的长轴垂直，由开普勒第二定律，得
ｕ０Ｒ＝6ｕＲ， ①
（1／2）ｍｕ０－Ｇ（Ｍ０ｍ／Ｒ）＝（1／2）ｍｕ－Ｇ（Ｍ０ｍ／6Ｒ）， ② Ｇ（Ｍ０ｍ／Ｒ）＝ｍ（ｖ０／Ｒ），
2
2
2
2
由能量关系，有
由牛顿万有引力定律，有
或 ｖ０＝
解①、②、③式，得
． ③
ｕ0＝ｖ0， ④
ｕ＝ｖ0． ⑤
设小行星绕太阳运动的速度为ｖ，小行星的质量Ｍ，由牛顿万有引力定律，有
ＧＭ0Ｍ／（6Ｒ）＝Ｍｖ／6Ｒ，
2
2
得ｖ＝ｖ0， ⑥
能够看出 ｖ＞ｕ． ⑦
由此可见，只要选择好飞行器在圆轨道上合适的位置离开圆轨道，使得它到达小行星轨道外时，小行星的前缘也正好运动到该处，则飞行器就能被小行星撞击．能够把小行星看做是相对静止的，飞行器以相对速度为ｖ－ｕ射向小行星，由于小行星的质量比飞行器的质量大得多，碰撞后，飞行器以同样的
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