备战2024年高考数学解答题高分宝典专题05解析几何（直通高考）文
专题05解析几何
x21.（2017全国1卷文科20）设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．
4（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM?BM，求直线AB的方程．
设M（x3，y3），由题设知
x3． ?1，解得x3?2，于是M（2，1）
2设直线AB的方程为y?x?m，故线段AB的中点为N（2，2+m），|MN|=|m+1|．
x2将y?x?m代入y?得x2?4x?4m?0．
4当??16(m?1)?0，即m??1时，x1,2?2?2m?1． 从而|AB|=2|x1?x2|?42(m?1)．
由题设知|AB|?2|MN|，即42(m?1)?2(m?1)，解得m?7． 所以直线AB的方程为y?x?7．
2.（2017全国2卷文科20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C点P满足NP?上，过M作x轴的垂线，垂足为N，
uuuruuuur2NM.
（1）求点P的轨迹方程；
uuuruuurQ（2）设点在直线x??3上，且OP?PQ?1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
【解析】（1）设P（x，y），M（由
得
.
）,则N（
），
，
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因为M（
）在C上，所以
.
.
因此点P的轨迹方程为
（2）由题意知F（?1,0），设Q（?3，t），P（m，n），则
，
.
由所以的左焦点F.
3.（2017全国3卷文科20）在直角坐标系xOy中，曲线y?x?mx?2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
2得?3m?m2?tn?n2?1，又由（1）知，即
，故3?3m?tn?0.
.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C（2）BC的中点坐标为（），可得BC的中垂线方程为.
由（1）可得，所以AB的中垂线方程为.
联立又，可得
所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（），半径
故圆在y轴上截得的弦长为
2
，即过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
4.如图，已知抛物线C：y＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，
y1)，M(x2，y2)．
(1)若y1y2＝－8，求抛物线C的方程；
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(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．
(2)证明：设B(x3，y3)，N(x4，y4)． 由(1)可知y3y4＝－2p，y1y3＝－p. 又直线AB的斜率kAB＝直线MN的斜率kMN＝
－2p2
2
y3－y12p＝， x3－x1y1＋y3
y4－y22p＝， x4－x2y2＋y4
－2p＋
2
2
y1＋y3
y1y3y1y3kABy2＋y4
∴＝＝＝＝2. kMNy1＋y3y1＋y3y1＋y3
故直线AB与直线MN斜率之比为定值．
5.已知椭圆C：9x＋y＝m(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
2
2
2
－2p2
??(2)若l过点?，m?，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜
?3?
率；若不能，说明理由．
【解析】(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1， y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)． 将y＝kx＋b代入9x＋y＝m， 得(k＋9)x＋2kbx＋b－m＝0， 故xM＝
2
2
2
2
2
2
2
mx1＋x2
2
＝
－kb， k2＋9
9byM＝kxM＋b＝2.
k＋9
yM9
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
xMk即kOM·k＝－9.
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