人教版九年级数学上册知识点总结
21.1 一元二次方程
知识点一 一元二次方程的定义
等号两边都是整式 , 只含有一个未知数 (一元), 并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程 , 叫做一元二次方程。
注意一下几点:
① 只含有一个未知数;②未知数的最高次数是 2;③是整式方程。
知识点二 一元二次方程的一般形式
一般形式: ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0). 其中 ,ax 2 是二次项 ,a 是二次项系数; bx 是一次项 ,b 是一次项系数; c 是常数项。
知识点三 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解 , 也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
典型例题:
m 1
2
1、已知关于 x 的方程( m+ 3 )x +(m-3)-1=0 是一元二次方程 , 求 m的值。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方 , 另一边是非负数 , 可以
直接开平方。一般地 , 对于形如 x2=a(a ≥0) 的方程 , 根据平方根的定义可解得
x =
,x
=
.
1
a 2
a
(2)直接开平方法适用于解形如 x2=p 或(mx+a)2=p(m≠0) 形式的方程 , 如果 p≥0,
就可以利用直接开平方法。
(3)用直接开平方法求一元二次方程的根 , 要正确运用平方根的性质 , 即正数的
平方根有两个 , 它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:
①移项;
②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1;③两边直接开平方 , 使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程 , 求出原方程的根。
知识点二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法 , 叫做配方法 , 配方的目的是 降次 , 把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。
( 1)把常数项移到等号的右边;
( 2)方程两边都除以二次项系数;
(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方 , 把左边配成完全平方式;(4)若等号右边为非负数 , 直接开平方求出方程的解。
21.2.2 公式法
1 / 22
知识点一 公式法解一元二次方程
(1)一般地 , 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0), 如果 b2-4ac ≥0, 那么方程的两
个根为 x=
b b
2a
2
4ac
, 这个公式叫做一元二次方程的求根公式 , 利用求根
公式 , 我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解 , 这种解方 程的方法叫做公式法。
(2)一元二次方程求根公式的推导过程 , 就是用配方法解一般形式的一元二次方
2
程 ax+bx+c=0(a ≠0) 的过程。
(3)公式法解一元二次方程的具体步骤:①方程化为一般形式: ax2+bx+c=0(a≠0), 一般 a 化为正值②确定公式中 a,b,c 的值 , 注意符号;
2
③求出 b -4ac 的值;
④若 b2-4ac ≥0, 则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解 , 若 b2-4ac <0,则方程无实数根。
知识点二 一元二次方程根的判别式
22
式子 b-4ac 叫做方程 ax+bx+c=0(a≠0) 根的判别式 , 通常用希腊字母△表示它 ,
即△ =b2-4ac.
△> 0, 方程 ax2+bx+c=0(a ≠0) 有两个不相等的实数根
一元二次方程 △=0, 方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个相等的实数根根的判别式
△< 0, 方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 无实数根
21.2 .3 因式分解法
知识点一 因式分解法解一元二次方程
(1)把一元二次方程的一边化为 0, 而另一边分解成两个一次因式的积 , 进而转化
为求两个求一元一次方程的解 , 这种解方程的方法叫做因式分解法。
(2)因式分解法的详细步骤:
① 移项 , 将所有的项都移到左边 , 右边化为 0;
② 把方程的左边分解成两个因式的积 , 可用的方法 有提公因式、平方差公
式和完全平方公式;
③ 令每一个因式分别为零 , 得到一元一次方程; ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二 用合适的方法解一元一次方程
方法名称 理论依据
适用范围
2 / 22
直接开平方法 平方根的意义
形如 x2=p 或( mx+n)2=p(p ≥0)
配方法 公式法
因式分解法
完全平方公式 配方法
当 ab=0, 则 a=0 或 b=0
所有一元二次方程 所有一元二次方程
一边为 0, 另一边易于分解成两个一次 因式的积的一元二次方程。
21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
2
若一元二次方程 x+px+q=0 的两个根为 x1,x 2, 则有 x1+x2=-p,x 1x2=q.
若一元二次方程 ax+bx+c=0(a ≠0) 有两个实数根 x1,x 2, 则有 x1 +x2=
2
b
a
, x1x2=
c
a
22.3 实际问题与一元二次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤: (1)审:是指读懂题目 , 弄清题意 , 明确哪些是已知量 , 哪些是未知量以及它们之
间的等量关系。
(2)设:是指设元 , 也就是设出未知数。
(3)列:列方程是关键步骤 , 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含
义 , 然后列代数式表示这个相等关系中的各个量 , 就得到含有未知数的等式 , 即方程。
(4)解:就是解方程 , 求出未知数的值。
, 符合题意。
(5)验:是指检验方程的解是否保证实际问题有意义 (6)答:写出答案。
知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 (1)数字问题
x, 则另两个数分别为 x-1,x+1 。
三个连续整数:若设中间的一个数为
三个连续偶数(奇数):若中间的一个数为 x, 则另两个数分别为 x-2,x+2 。
a,b,c, 则这个三位数是
三位数的表示方法:设百位、十位、个位上的数字分别为 100a+10b+c.
(2)增长率问题 设初始量为 a, 终止量为 b, 平均增长率或平均降低率为 x, 则经过两次的增长或降低
2x )=b。 后的等量关系为 a(1
(3)利润问题
利润问题常用的相等关系式有: ①总利润 =总销售价 - 总成本;
②总利润 =单位利润×总销售量;
3 / 22
③利润 =成本×利润率 (4)图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、 高等相关元素的关系 , 将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来 , 建立一元二次方程。
中考回顾
2m2x +mx+n= 0 的两个根是 -2 和 1,则 n 的值为 ( 四川绵阳中考 )关于 x 的方程 1.(2017
A. -8 B.8 C.16 D.-16
2
2.(2017 新疆中考 )已知关于 x 的方程 x+x-a= 0 的一个根为 2,则另一个根是 ( A ) A. -3 B. -2 C.3 D.6 2
3.(2017 河南中考 )一元二次方程 2x-5x-2= 0 的根的情况是 ( B ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
,则 x +x
C
)
2
1
C.只有一个实数根 4.(2017
青海西宁中考 )若 x ,x 是一元二次方程
1
2
D. 没有实数根
x + 3x-5=0 的两个根
2
的值是 15.
5.(2017 内蒙古赤峰中考 ) 如果关于
m< 2.
x 的方程
x2- 4x+ 2m= 0 有两个不相等的实数根
,那么 m 的取值范围是
6.(2017 四川成都中考 )已知 x1 ,x2 是关于 x 的一元二次方程 x-5x+a= 0 的两个实数根 ,且
2
=10,则 a=
21 4
模拟预测
1.方程 x2+x- 12= 0 的两个根为 (
A. x =- 2,x = 6
B. x =- 6,x = 2
D )
1 2 1 2
C.x1=- 3,x2= 4 D.x1=- 4,x2= 3
x=-m ±
2.对形如 (x+m )2=n 的方程 ,下列说法正确的是 ( C A. 都可以用直接开平方得
C.当 n≥ 0 时 ,直接开平方得 x=-m ±
)
B. 都可以用直接开平方得
2
x=-n ±
D. 当 n≥ 0 时 ,直接开平方得 x=-n ±
3.三角形的两边长分别为 2 和 6,第三边是方程 x-10x+ 21= 0 的解 ,则第三边的长为 ( A ) A.7 B.3 C.7 或 3 D.无法确定
4.为解决群众看病贵的问题 ,有关部门决定降低药价 ,对某种原价为 289 元的药品进行连续两次降价后为 设平均每次降价的百分率为 x,则下面所列方程正确的是 ( A ) A.289(1 -x)2= 256 B.256(1 -x)2= 289 C.289(1 -2x)= 256 D.256(1 - 2x)= 289 5.若关于 x 的一元二次方程 (m-1)x2+ 5x+m 2-3m+2=0 的常数项为 0,则 m 的值等于 ( )
C.1 或 2 D.0 A.1 B.2
解析 : 由常数项为零 ,知 m2
256 元 ,
-3m+ 2= 0,解之 ,得 m = 1,m
1
= 2.又二次项系数 m-1≠0,所以 m≠1.综上可知 ,m= 2.故选 B.
2
2
6.若关于 x 的一元二次方程 x-3x-2a= 0 有两个实数根 ,则 a 可取的最大负整数为
.
解析 : 由题意可知 Δ=9+8a≥0,故 a≥ - , 所以 a 可取的最大负整数为 -1. 7.已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 是 .
x2-(2m+3)x+m 2= 0 的两个不相等的实数根 ,且满足 x1+x 2=m 2 ,则 m 的值
,所以 [-(2m+3)] 2-4m2> 0,即 m>- 解析 : 因为一元二次方程有两个不相等的实数根
x +x =2m+3,所以 2m+ 3=m 2 ,得 m =- 1,m = 3,故 m=3.
1
2
; 由根与系数的关系可知
1 2
8.某地特产专卖店销售核桃 ,其进价为 40 元 /千克 ,如果按 60 元 /千克出售 ,那么平均每天可售出 100 kg.后来经过 市场调查发现 ,单价每降低 2 元 ,则平均每天的销售量可增加 20 kg .若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利 2 240 元 ,请回答 : (1)每千克核桃应降价多少元 ? (2)在平均每天获利不变的情况下
,为尽可能让利于顾客 ,赢得市场 ,该店应按原售价的几折出售
?
(1)设每千克核桃应降价 x 元,根据题意 ,得
(60-x-40)
= 2 240.
4 / 22
化简 ,得 x2-10x+24= 0. 解得 x1= 4,x2= 6.
答 :每千克核桃应降价
售价为 60-6= 54(元 ),所以
4 元或 6 元 .
100%=90% .
(2) 由 (1) 可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元 ,因为要尽可能让利于顾客 ,所以每千克核桃应降价
6 元 .此时 ,
答 :该店应按原售价的九折出售 .
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