第十四讲:周期问题
知识点说明
周期问题：
周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.
分类： 1．图形中的周期问题； 2．数列中的周期问题； 3．年月日中的周期问题．
周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几问题等。
⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；
例如：1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？ 这个数列的周期是2，18?2?9，所以第18个数是2． ⑵如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个； 例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？ 这个数列的周期是3，16?3?5???1，所以第16个数是1．
⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算． 例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第16个数是多少？
这个数列从第二个数开始循环，周期是2，(16?1)?2?7???1，所以第16个数是2．
板块一、图形中的周期问题
【例 1】 小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：
●●○●●○●●○…
你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？
【解析】 仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2个黑球，1个白球；2个黑球，1个白球；……
也就是按“2个黑球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（2个黑球，1个白球）．再看看90、100里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个．因为90?3?30，正好有30个周期，第90个是白球．100?3?33…1，有33个周期还多1个，所以，第100个是黑球．
【巩固】 美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序
排列的：
○●○○○●○○○●○○○……
那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？
美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？ 【解析】 观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组，并且不断重复出现的．我
们先算出102个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子．因为102?4?25…2，所以最后一个珠子是第26个周期中的第二个，即为黑色．在每一个周期中只有1个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有25?1?26（个）
【例 2】 小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列．
⑴第73颗是什么颜色的？
⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？
⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？
【解析】 ⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有5颗．73?5?14(组)……3(颗)，第
73颗是第15组的第3颗，所以是蓝色的．
⑵第10颗黄珠子前面有完整的9组，一共有5?9?45(颗)珠子．第10颗黄珠子是第l0组的第2颗，所以它是从头数的第47颗．列式：5?9?2?45?2?47(颗)
⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间一共有14颗珠子．第8颗红珠子与第11颗红珠子之间有完整的两组(第9、10组)，共l0颗珠子，第8颗红珠子后面还有4颗珠子，所以是14颗．列式：
5?2?4?10?4?14(颗)．
【巩固】 奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢
迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列，第28个字是什么字？ 【解析】 这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列，即5个字为一个周期．因为28?5?5…3，所以28个
字里含有5个周期还多3个字，即第28个字就是所列一个周期中的第3个字，所以第28个字是“欢”字．
【巩固】 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就
是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是什么颜色的灯？ 【解析】 从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是：
1，5，9，13，……，这些编号被4除所得的余数都是1．73?4?18?1，即73被4除的余数
是1，因此第73盏灯是白灯．
【例 3】 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，然后 又是5
盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、……这样排下去．问： ⑴第150盏灯是什么颜色？
⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯？ 【解析】 ⑴街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，这样一个周期变化的，实际上一个
周期就是5?4?1?10（盏）灯．150?(5?4?1)?15，150盏灯刚好15个周期，所以第150盏应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯．
⑵如果是200盏灯，就是200?(5?4?1)?20的周期．每个周期都有4盏蓝灯，20?4?80（盏） 前200盏彩灯中有80盏蓝灯．
【巩固】 在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到
第50颗，那么其中白珠有多少颗？ 【解析】 50?(2?2?5)? 5…5．5?2?2?12（个）．
【巩固】 小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分，2个2分，1个5分的顺序排列起来．
⑴最后1枚是几分硬币
⑵这200枚硬币一共价值多少钱？ 【解析】 ⑴每个周期有3?2?1?6枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以6，根据余数来判断
200?6?33……2，所以最后一枚是1分硬币
⑵每个周期中6枚硬币共价值1?3?2?2?1?5?12（分），用这个数乘以周期次数再加上余下的，就可以得到一共价值多少了12?33?2?398（分），所以，这200枚硬币一共价值398分．
【巩固】 桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最
后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？ 【解析】 19?6?3…1,14?6?2…2,所以,第19枚硬币是一角的,第14枚硬币是五角的．
【巩固】 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？
这249朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？ 【解析】 这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有5?9?13?27（朵）花．因为
249?27?9……6，所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花．按花的排列规律，这6朵
花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花．在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在249朵花中，自然也是绿花最多，红花最少．少几朵呢？有两种解法： （方法1）249?(5?9?13)?9……6
红花有：5?9?5?50（朵）绿花有：13?9?117（朵）红花比绿花少：117?50?67（朵）
（方法2）249?(5?9?13)?9……6，一个周期少的：13?5?8（朵），9?8?72（朵），余下的6
朵中还有5朵红花，所以72?5?67（朵）.
【例 4】 如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，A”，第二组是“们，
B”…… 我 们 A B D E F A B D …… ⑴写出第62组是什么？
⑵如果“爱，C”代表1991年，那么“科，D”代表1992年……问2008年对应怎样的组？
【解析】 （1）要求第62组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字（字母），上面一行是以“我们
爱科学”五个字为一个周期，下面一行则是以“ABCDEFG”七个字母为一个周期
爱 C 科 学 我 们 G 爱 科 学 C 我 …… 62?5?12……2 ,62?7?8……6，所以第62组是“们，F”
⑵2008是1991之后的第17组，现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下面一行则按“DEFGABC” 七个字母为一个周期：2008?1991?17（组），17?5?3……2
17?7?2……3，所以2008年对应的组为“学，F”．
【巩固】 在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北林），
那么第50组是什么？
新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运…… 奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会…… 【解析】 要知道第50组是哪两个数，我们首先要弄清楚第一行和第二行的第50个字分别应该是什么．第
一行“新北京新奥运”是6个字一个周期，50?6?8…2，第50个字就是北．再看第二行“奥林匹克运动会”是7个字一个周期，50?7?7…1，第50个字就是奥．把第一行和第二行合在一起，第50组就是“北奥”．
【例 5】 如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部
分是圆形的水洼。一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它飞到关于C点对称的3号位，再飞到关于A点对称的4号位，……，如此继续，一直对称地飞下去。由此推断，2004号位和0号位之间的距离是多少米？
【解析】 0米。根据题上给出的条件，动手画出，就可以了！四次再次回到0号位置！2004是4的倍数，
所以第2004号位和0号位之间的距离是0米。
板块二、数列中的周期问题
【例 6】 小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3…
你知道他写的第81个数是多少吗？
你能求出这81个数相加的和是多少吗？
【解析】 ⑴从排列上可以看出这组数按7，0，2，5，3依次重复排列，那么每个周期就有5个数．81个数
则是16个周期还多1个，第1个数是7，所以第81个数是7，81?5?16…1
⑵每个周期各个数之和是：7?0?2?5?3?17．再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下的各数，即可得到答案．17?16?7?279，所以，这81个数相加的和是279．
【巩固】 根据下面一组数列的规律求出51是第几个数？
1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17……
【解析】 观察题目可知数列个位数字每九个数一组，十位数字依次增加，0～4共五个数，则可列式为：5
×9＋1=46，即51为第46个数。
【例 7】 ⑴4?4?……?4（25个4），积的个位数是几？
⑵24个2相乘，积末位数字是几？
【解析】 ⑴按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：4，6，4，6，4，6，……，奇数个4相乘得数的末
位数字是4，偶数个4相乘得数的末位数是6，所以25?2?12…1，25个4相乘，积的末位数字是4．
⑵按照乘数的个数，末位数字的规律是2，4，8，6，2，4，8，6，……，4个一组24?4?6，所以24个2相乘，积末位数字是6．
【巩固】 紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，
8?9?72，在9后面写2，9?2?18，在2后面写8……得到一串数字：19892868…，问：这串数字从1开始，往右数，第l999个数字是几？这1999个数字的和是多少？ 【解析】 ⑴根据题意，写出这列数的前面部分数字：19892868842868842……“286884”这6个数字重复出现，
周期是6．
⑵第1999个数字是：因为(1999?4)?6?332???3，所以，第l999个数字是6． ⑶这1999个数字的和是：
(1?9?8?9)?(2?8?6?8?8?4)?332?(2?8?6)?27?11952?16?11995
【例 8】 12个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图．
⑴从1号同学开始，顺时针传l00次，手绢应在谁手中？ ⑵从1号同学开始，逆时针传l00次，手绢又在谁手中？
⑶从1号同学开始，先顺时针传l56次，然后从那个同学开始逆时针传143次，再顺时针传107
次，最后手绢在谁手中？
111098765121234
【解析】 ⑴因为一圈有l2个同学，所以传一圈还回到原来同学手中，现在，从1号开始，顺时针传l00次，
我们先用除法求传了几圈、还余几次．100?12?8(圈)……4(次)从1号同学顺时针传4次正好传到5号同学手中．
⑵与第一小题的道理一样，先做除法．100?12?8(圈)……4(次)这4次是逆时针传，正好传到9号同学手中(如图)．
⑶先顺时针传156次，然后逆时针传l43次，相当于顺时针传156?143?13(次)；再顺时针传l07次，与13次合并，相当于顺时针传13?107?120(次)，120?12?10(圈)，手绢又回到l号同学手中．
111098765121234
【巩固】 8个队员围成一圈做传球游戏，从⑴号开始，按顺时针方向向下一个人传球．在传球的同时，按
顺序报数．当报到72时，球在几号队员手上？
18765423
【解析】 将8名队员看作一组，每组报8个数，72个数可以分成几组：72?8?9组，没有余数，球正好
在一组的最后一位队员手中，因此球应该在8号队员手上．
【巩固】 如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字．的
圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字．的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？
11109876540123
【解析】 解答此类问题时，只要能发现旋转周期现象，并充分加以利用，就能较快找到解题的关键．本题
中，不难看出这是一个与周期性有关的问题，电子跳蚤每跳12步就回到了原来的位置，如此循环，周期为12． ⑴因为1991?12?165⑵因为1949?12?16211，所以，红跳蚤跳了1991步后落到了标有数字11的圆圈． 5，所以，黑跳蚤跳了1949步后落到了标有数字7的圆圈．
⑶所求的乘积是11?7?77.
【巩固】 如右图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开
始按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485个位置，第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进485个位置……如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的1号位置？ 【解析】 根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天一个周期循环
变换方向.每一个周期中，小球实际上是按逆时针方向前进485-329=156（个）位置. 156÷8=19……4，就是说，每个周期（2天）中，小球是逆旋转了19周后再逆时针前进4个位置. 要使小球回到原来的1号位，至少应逆时针前进8个位置. 8÷4=2（个）周期，2×2=4（天），所以至少要用4天，小球才又回到原来“1”号位置.
【巩固】 如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码.现在有一人
从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进136个，这时他到了第几号椅子？ 【解析】 这个人顺时针前进了328+328+136=792个位置，由于792÷16=49…8，所以他
走到9号位置.又这个人逆时针共退回485+485=970个位置，由于970÷16＝60…10，因此这个人到了第15(=9+16-10)号椅子.
【例 9】 甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色。首先，甲从木棍的端点开始涂黑色5厘米，间隔5厘米
不涂色，再涂5厘米黑色，这样交替做到底。然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，然后涂6厘米黑色，再间隔6厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长度是多少？ 【解析】 此题最好画图为同学们示意：在前30厘米内未被涂黑的是：1，3，5，在31-60厘米内的是：4，
小学奥数周期问题解析
