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第二节 等差数列及其前n项和
———————————————————————————————— [考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N)是公差为md的等差数列．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N，都有2an＋1＝an＋ an＋2.( ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于( ) A．－1 C．2
B．1 D．－2
*
*
*
*
*
a＋b2
，其中A叫做a，b的等
nn－1dna1＋an2
＝
2
.
D [依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故选D.]
3．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )
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A．5 C．9
5
A [a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝
B．7 D．11
a1＋a5
2
＝5a3＝5.]
4．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( ) A．100 C．98
B．99 D．97
C [法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d， 9
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
2
??a1＋4d＝3，
又∵a10＝8，∴?
?a1＋9d＝8，?
??a1＝－1，
∴?
?d＝1.?
∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二：∵{an}是等差数列，
9
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
2
在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5. 故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选C.]
5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数． 16 [由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{an}， 则a1＝6，d＝6，得an＝6＋(n－1)6＝6n. 42
由an＝6n≤100，即n≤16＝16，
63则在100以内有16个能被6整除的数．]
若S8＝4S4，则a10＝( )
A.
17
2
B.19 2
等差数列的基本运算 (1)(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，
C．10 D．12
(2)(2017·云南省二次统一检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝( )
A．9 C．11
(1)B (2)B [(1)∵公差为1，
B．10 D．15
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8×
∴S8＝8a1＋
8－1
×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. 2
1
∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，
2119
∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.
22
11×11－1??S11＝11a1＋d＝22，
2(2)设等差数列{an}的公差为d，依题意?
??a4＝a1＋3d＝－12，
??a1＝－33，
?
?d＝7，?
解得
∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.]
[规律方法] 1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用．
2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．
[变式训练1] (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}
32的公差是( )
1A. 2C．2
B．1 D．3
S3S2
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.
【导学号：】
(1)C (2)－72 [(1)∵Sn＝得
na1＋an2
，∴＝Sna1＋anS3S2
，又－＝1，
n232
a1＋a3a1＋a2
2－
2
＝1，即a3－a2＝2，
∴数列{an}的公差为2.
(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
a12＝a1＋11d＝－8，??
由已知，得?9d×8
S＝－9，9＝9a1＋?2?
??a1＝3，
解得?
?d＝－1.?
16×15
∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.]
2
等差数列的判定与证明 3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和教师用书文新人教A版
