2002年全国统一高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）圆(x?1)2?y2?1的圆心到直线y?A．
1 23x的距离是( ) 3B．3 2C．1 D．3 1332．（5分）复数(?i)的值是( )
22A．?1 B．1 C．?i D．i
3．（5分）不等式(1?x)(1?|x|)?0的解集是( ) A．{x|0?x?1} x??1}
B．{x|x?0且x??1} C．{x|?1?x?1} D．{x|x?1且
4．（5分）在(0,2?)内，使sinx?cosx成立的x的取值范围是( )
?，?) 45?3???5?C．(，) D．(，?)?(，)
42444k1k15．（5分）设集合M?{x|x??，k?Z}，N?{x|x??，k?Z}，则( )
2442A．(B．(A．M?N
B．M?N
C．M?N
D．MN??
??5?，)?(?，) 244?x?t26．（5分）点P(1,0)到曲线?（其中参数t?R)上的点的最短距离为( )
y?2t?A．0 B．1 C．2 D．2
7．（5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是( ) A．
3 4B．
4 33C．?
53D．
58．（5分）正六棱柱ABCDEF?A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角是( ) A．90?
B．60?
C．45?
D．30?
9．（5分）函数y?x2?bx?c(x?[0,??))是单调函数的充要条件是( )
0 A．b…B．b?0 C．b?0
第1页（共13页）
D．b?0
10．（5分）函数y?1?1的图象是( ) x?1A． B．
C． D．
11．（5分）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( ) A．8种
B．12种
C．16种
D．20种
12．（5分）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十五”期间(2001年?2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为( ) A．115000亿元
B．120000亿元
C．127000亿元
D．135000亿元
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）函数y?2x在[0，1]上的最大值与最小值之和为 ． 14．（4分）椭圆5x2?ky2?5的一个焦点是(0,2)，那么k? ． 15．（4分）在(x2?1)(x?2)7的展开式中x3的系数是 ．
x211116．（4分）已知函数f(x)?，那么 f(1)?f(2)?f()?f(3)?f()?f(4)?f()? ．21?x234三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知sin22??sin2?cos??cos2??1，??(0,)，求sin?、tan?的值．
218．（12分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM?BN?a(0?a?2) （1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小；
（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角?的大小．
?第2页（共13页）
19．（12分）设点P到点(?1,0)、(1,0)距离之差为2m，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．
20．（12分）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同．为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 21．（12分）设a为实数，函数f(x)?x2?|x?a|?1，x?R （1）讨论f(x)的奇偶性； （2）求f(x)的最小值．
2?nan?1，n?1，2，3，? 22．（14分）设数列{an}满足：an?1?an（1）当a1?2时，求a2，a3，a4并由此猜测an的一个通项公式；
1，有 （2）当a1…3时，证明对所有的n…①an…n?2 ②
11111??????． 1?a11?a21?a31?an2
第3页（共13页）
2002年全国统一高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）圆(x?1)2?y2?1的圆心到直线y?3x的距离是( ) 3A．
12 B．32 C．1 【解答】解：由(x?1)2?y2?1得：圆心(1,0)， 所以根据点到直线的距离公式得： |33d?3|?3?1．(33)2?(?1)2232
3故选：A．
2．（5分）复数(12?32i)3的值是( )
A．?1 B．1 C．?i 【解答】解：?(12?32i)3?(?12?32i)3?1?(1332?2i)??1
故选：A．
3．（5分）不等式(1?x)(1?|x|)?0的解集是( ) A．{x|0?x?1} B．{x|x?0且x??1} C．{x|?1?x?1} x??1}
【解答】解：求不等式(1?x)(1?|x|)?0的解集 则分两种情况讨论：
情况1:??1?x?0?x??1?1?|x|?0即：???1?X?1
则：?1?x?1．
情况2:??1?x?0即：??1?|x|?0?X??1?X?1或X1
则：x??1
两种情况取并集得{x|x?1且x??1}． 故选：D．
第4页（共13页）
D．3 D．i
D．{x|x?1且
4．（5分）在(0,2?)内，使sinx?cosx成立的x的取值范围是( ) A．(C．(??5?，)?(?，) 2445??，)
44?，?) 43??5?D．(，?)?(，)
244B．(【解答】解：sinx?cosx，
?sin(x??4)?0，
?2k??x??4?2k???(k?Z)，
在(0,2?)内，
?5??x?(,)，
44故选：C．
5．（5分）设集合M?{x|x?A．M?N
k1k1?，k?Z}，N?{x|x??，k?Z}，则( ) 2442B．M?N C．M?N D．MN??
【解答】解：当k?2m（为偶数）时，N?{x|x?当k?2m?1（为奇数）时，N?{x|x??M?N
k1m1?,k?Z}?{x|x??,m?Z} 4222k1m1?,k?Z}?{x|x??,m?Z}?M 4224故选：B．
?x?t26．（5分）点P(1,0)到曲线?（其中参数t?R)上的点的最短距离为( )
y?2t?A．0 B．1 C．2 D．2
?x?t2【解答】解：点P(1,0到（其中参数t?R)上的点的距离：)曲线?y?2t?(t2?1)2?4t2?t4?2t2?1?t2?1
t2?1…1
故选：B．
7．（5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是( )
第5页（共13页）
A．
3 4B．
4 33C．?
53D．
5【解答】解：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为?，则圆锥的高H?Rctg? 11圆锥的体积V1??R2H??R3ctg?
332半球的体积V2??R3
312V1?V2即：?R3ctg???R3
33?ctg??2 ?cos2??3 5故选：D．
8．（5分）正六棱柱ABCDEF?A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角是( ) A．90?
B．60?
C．45?
D．30?
【解答】解：连接E1F、FD．
正六棱柱ABCDEF?A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，则E1D?E1F?3，FD?3， 则可知?FE1D?60?， 故选：B．
9．（5分）函数y?x2?bx?c(x?[0,??))是单调函数的充要条件是( ) A．b…0
B．b?0
C．b?0
D．b?0
【解答】解：函数y?x2?bx?c在[0，??)上为单调函数 b0． ?x???0，即b…2故选：A．
10．（5分）函数y?1?1的图象是( ) x?1A． B．
第6页（共13页）
C．
【解答】解：将函数y? D．
111的图象向右平移1个单位，得到y?的图象，再把y?的xx?1x?1图象向上平移一个单位，即得到 y?1?1的图象， x?1故选：A．
11．（5分）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( ) A．8种
B．12种
C．16种
D．20种
3【解答】解：使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共C6种不同的取法，
而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，
3?8?12种； 则选法共有C6故选：B．
12．（5分）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十五”期间(2001年?2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为( ) A．115000亿元
B．120000亿元
C．127000亿元
D．135000亿元
【解答】解：根据题意，有95933(1?7.3%)4?127164.8， 故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）函数y?2x在[0，1]上的最大值与最小值之和为 3 ． 【解答】解：函数y?2x在[0，1]上是增函数， 所以最大值为2，最小值为1， 它们之和为3， 故答案为3．
14．（4分）椭圆5x2?ky2?5的一个焦点是(0,2)，那么k? ?1 ．
第7页（共13页）
y2?1． 【解答】解：方程可化为x?5?k2焦点(0,2)在y轴上， 5?a2??，b2?1，
k又c2?a2?b2?4，?a2?5， 解得：k??1． 故答案为：?1
15．（4分）在(x2?1)(x?2)7的展开式中x3的系数是 1008 ．
【解答】解：(x2?1)(x?2)7的展开式中x3的系数等于(x?2)7展开式的x的系数加上(x?2)7展开式的x3的系数
(x?2)7展开式的通项为Tr?1?C7rx7?r(?2)r
6(?2)6?448 令7?r?1，得r?6故(x?2)7展开式的x的系数为C74(?2)4?560 令7?r?3得r?4故(x?2)7展开式的x3的系数为C7故展开式中x3的系数是448?560?1008 故答案为：1008．
x211116．（4分）已知函数f(x)?，那么f(1)?f(2)?f()?f(3)?f()?f(4)?f()? 21?x2347 ． 2【解答】解：11 ?f()?x1?x21?f(x)?f()?1
x1111?f（2）?f()?1，f（3）?f()?1，f（4）?f()?1，f（1）?
2342?f(1)?f(2)?f()?f(3)?f()?f(4)?f()?x2， f(x)?1?x21213147 2故答案为：
7 2三、解答题（共6小题，满分74分）
第8页（共13页）
17．（12分）已知sin22??sin2?cos??cos2??1，??(0,)，求sin?、tan?的值．
2【解答】解：由sin22??sin2?cos??cos2??1，得 4sin2?cos2??2sin?cos2??2cos2??0
?2cos2?(2sin2??sin??1)?0 2cos2?(2sin??1)(sin??1)?0．
因为??(0,)，所以sin??1?0，且cos??0，
2所以2sin??1?0，即sin??所以??1， 2??6，即tan??3． 318．（12分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM?BN?a(0?a?2) （1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小；
（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角?的大小．
【解答】解（1）作MP//AB交BC于点，NQ//AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP//NQ，且MP?NQ，即MNQP是平行四边形． ?MN?PQ
由已知CM?BN?a，CB?AB?BE?1
?AC?BF?2，CP?BQ?2a 2MN?PQ?(1?CP)2?BQ2?
?(1?a2)2?(a2)2
第9页（共13页）
?(a?221)?(0?a?2) 22（2）由（1）
MN?PQ?(1?CP)2?BQ2?
?(1?a2)2?(a2)2
?(a?221)?(0?a?2) 22所以，当a?22时，MN? 222 2即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为（3）取MN的中点G，连接AG、BG， AM?AN，BM?BN，G为的中点
?AG?MN，BG?MN，即?AGB即为二面角的平面角?
又AG?BG?6，所以，由余弦定理有cos??4(626)?()2?1144?? 3662441故所求二面角为：????arccos
319．（12分）设点P到点(?1,0)、(1,0)距离之差为2m，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．
【解答】解：设点P的坐标为(x,y)，依题设得
|y|?2，即y??2x，x?0 |x|因此，点P(x,y)、M(?1,0)、N(1,0)三点不共线，得||PM|?|PN||?|MN|?2 ||PM|?|PN||?2|m|?0 ?0?|m|?1
x2y2因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故2??1．
m1?m2x2y2m2(1?m2)2将y??2x代入2?…0， ?1，并解得x?1?5m2m1?m2因为1?m2?0，所以1?5m2?0， 解得0?|m|?5， 5第10页（共13页）
即m的取值范围为(?5,0)5(0,5)． 520．（12分）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同．为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
【解答】解：设2001年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，每年新增汽车x万辆，则b1?30， 对于n?1，有 bn?1?bn?0.94?x
?bn?1?0.942?(1?0.94)x
所以bn?1?b1?0.94n?x(1?0.94?0.942???0.94n?1)
1?0.94n?1?b1?0.94?x
0.06xx??(30?)?0.94n?1 0.060.06n当30?当30?xbn?b1?30． …0，即x?1.8时bn?1剟0.06x?0，即x?1.8时 0.06数列{bn}逐项增加， 可以任意靠近
xxxx limbn?lim[?(30?)?0.94n?1]?n???0.060.06n???0.060.06因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即bn?60(n?1，2，3，) 则
x?60，即x?3.6万辆 0.06综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆．
21．（12分）设a为实数，函数f(x)?x2?|x?a|?1，x?R （1）讨论f(x)的奇偶性； （2）求f(x)的最小值．
【解答】解：（1）当a?0时，函数f(?x)?(?x)2?|?x|?1?f(x) 此时，f(x)为偶函数
第11页（共13页）
当a?0时，f（a）?a2?1，f(?a)?a2?2|a|?1，f（a）?f(?a)，f（a）??f(?a) 此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数
13（2）①当x?a时，f(x)?x2?x?a?1?(x?)2?a?
24当a?1，则函数f(x)在(??，从而函数f(x)在(??，a]上单调递减，a]上的最小值为f（a）2?a2?1．
若a?1131，则函数f(x)在(??，a]上的最小值为f()??a，且f()?f(a)． 224213②当x…a时，函数f(x)?x2?x?a?1?(x?)2?a?
24若a??113，则函数f(x)在[a，??)上的最小值为f(?)??a； 2241若a??，则函数f(x)在[a，??)上单调递增，从而函数f(x)在[a，??)上的最小值为f2（a）?a2?1． 综上，当a??13时，函数f(x)的最小值为?a 2411当??a?时，函数f(x)的最小值为a2?1
22当a?13时，函数f(x)的最小值为?a． 242?nan?1，n?1，2，3，? 22．（14分）设数列{an}满足：an?1?an（1）当a1?2时，求a2，a3，a4并由此猜测an的一个通项公式；
1，有 （2）当a1…3时，证明对所有的n…①an…n?2 ②
11111??????． 1?a11?a21?a31?an2【解答】解（1）由a1?2，得a2?a12?a1?1?3
2?2a2?1?4 由a2?3，得a3?a22?3a3?1?5 由a3?4，得a4?a3由此猜想an的一个通项公式：an?n?1(n…1) （2）(i)用数学归纳法证明：
第12页（共13页）
①当n?1时，a1…3?1?2，不等式成立． ②
假
设
当
n?k时不等式成立，即
ak…k?2，那么
ak?1?ak(ak?k)?1厖(k?2)(k?2?k)?1?2k?5k?3．
也就是说，当n?k?1时，ak?1…(k?1)?2 据①和②，对于所有n…1，有an…n?2． (ii)由an?1?an(an?n)?1及(i)可得：
对k…2，有ak?ak?1(ak?1?k?1)?1…ak?1(k?1?2?k?1)?1?2ak?1?1
ak?1k…2a1?2k?1?2?1?2k?1(a1?1)?1
于是11?a?11n1，k厔2?111n11n12k?11?ak1?a?a?k?1??k?1剟k1?a12k?11?1k?221?a1k?121?a1
第13页（共13页）
21?3?12
2002年全国统一高考数学试卷（理科）
