概率论与数理统计复习题
填空题
1.设随机变量
X的分布律为P{X?k}?A()k,k?1,2,3,4，则A= 。 答案：
1216 15
2.设总体X服从均匀分布U(??1,?), ?为未知参数。X1,X2,L,Xn为来自总体X的一个简单随机样本，X为样本均值，则?的矩估计量为 。 答案：
1X?
23.设X服从参数为1的指数分布e(1)，Y服从二项分布B(10,0.5)， 则
D(Y)? 。 D(X)答案： 2.5
4.设A,B,C为三个随机事件，则“A,B,C中只有两个发生”可表示为 。 答案：ABC?ABC?ABC
5.某袋中有7个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回， 则乙取到红球的概率为 。 答案：0.7
6.设A,B,C为三个随机事件，则“A,B,C中只有一个发生”可表示为 。 答案：ABC?ABC?ABC
7.某袋中有9个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回，则乙取到白球的概率为 。 答案：0.25
选择题 1、一批产品中有正品也有次品，从中随机抽取三件，设A，B，C分别表示抽出的第一件、第二件、第三件是正品，下列事件不能描述“正品不多于两件”的是（ C ）。 （A）ABC （B）ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC （C）A?B?C （D）A?B?C 2、设总体X~N(3,16)，X1,X2,L,X16为来自总体X的一个样本，X为样本均值，则( A )
(A) X?3~N(0,1) (B) 4(X?3)~N(0,1) (C) X?3X?3~N(0,1) (D) ~N(0,1) 4163、在假设检验中，H0表示原假设，H1表示对立假设，则犯第一类错误的情况为( C )
（A）H0真，接受H0 （B）H0不真，接受H0 （C）H0真，拒绝H0 （D）H0不真，拒绝H0
4、设X1,X2,X3,X4是来自均值为?的总体的样本，其中?未知，则下列估计量中不是? 的无偏估计的是( B )。
X?2X2?3X3?4X411（A）T1?(X1?X2)?(X3?X4) （B）T2?1 635X?X2?X3?X41111 （C）T3?1 （D）T4?X1?X2?X3?X45.设
42488X服从参数为?的Poisson分布，即X~P(?)，则(A) 1 (B) ? (C)
E(X)?（ A ）。 D(X)1 (D) 0 ?6.设随机变量X~N(2,4),Y~N(0,1),且X,Y相互独立，Z?X?2Y，则Z~（ B ）。
(A) N(6,8) (B) N(2,8) (C) N(0,6) (D) N(0,46)
简答题
设随机变量Z在??5,6?上服从均匀分布，
?0,Z??1??1,Z?1X??Y??1,Z??1??1,Z?1， 写出(X,Y)的联合分布律。 ，
解：
P{X?0,Y??1}?P{Z??1,Z?1}?P{Z??1}?4， 11P{X?0,Y?1}?P{Z??1,Z?1}?0，
P{X?1,Y??1}?P{Z??1,Z?1}?P{?1?Z?1}?P{X?1,Y?1}?P{Z??1,Z?1}?P{Z?1}?即为
X 0 1
Y -1 2， 115 111 0 4 112 115 11设某种元件的寿命X(单位：小时)服从指数分布，其概率密度为
1x?1?300e,x?0?f(x)??300?0,x?0?。
（1）求元件寿命超过600小时的概率；
（2）若有3个这种元件在独立的工作，求其中至少有2个元件的寿命超过600小时的概率。 解：
x1?300P{X?600}??edx?e?2600300（1）
??（2）至少有2个元件的寿命超过600小时的概率为
C32(e?2)2(1?e?2)?(e?2)3?3e?4?2e?6
一盒灯泡共12个，其中10个合格品，2个废品（点时不亮）。现从中任取一个使用，若取出的是废品，则废品不再放回，再取一个，直到取得合格品为止。求在取得合格品以前已取出的废品数X的分布律、数学期望和方差。 解：
X的所有可能取值为0，1，2. 故X的分布律为
10210521101P{X?0}?，P{X?1}???，P{X?2}????，
1212113312111066即
1 2 X 0 551pk 633662765所以EX?,EX2?,DX?
1133363
设随机变量X与Y相互独立, 下表给出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及X 和Y的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表的空白处。（注意：必须有简单的计算依据，无依据扣分）
Y y1 y2 y3 P{X?xi}?pi? X x1 x2 P{Y?yj}?p.j 1 2 1 24 1 31
答案：
因为X与Y独立，所以pij?pi.p.j,i?1,2,j?1,2,3。又?pij?1，故得如下
i,j表格。
X x1 x2 P{Y?yj}?p.j Y y1 y2 y3 P{X?xi}?pi? 1 41 83 81 121 241 81 31 61 22 31 31
设总体X具有密度函数
?(??1)x?, 0?x?1f(x;?)??，
0, 其它?其中?是未知参数，(X1,?,Xn) 是来自总体X的样本。 求：（1）?的矩估计量； （2）?的极大似然估计量。
解：
（1）E(X)??x(??1)x?dx?01??1 ??2令
??1??2X?1. ?X, 解得?1?X??2n（2）L(?)??f(xi,?)?(??1)n(x1,L,xn)?,
i?1lnL(?)?nln(??1)???lnxi
i?1nndlnL(?)n???lnxid???1i?1令0，
解得???1?
n?lnxi?1n???1?. 所以?in?lnXi?1n.
i设X1,X2,X3,X4是来自总体X～N(0,6)一个简单随机样本，若
Y?a(X1+2X2)2?b(2X3?X4)2服从?2(n)分布，求a,b,n。（要有求解过程）。
解：X1?2X2:N(0,30),X1?2X2:N(0,1) 302X3?X4:N(0,1) 302X3?X4:N(0,30),且X1?2X2,2X3?X4相互独立， (X1?2X222X3?X42)?():?2(2) 3030?n?2,a?b?1 30
甲厂和乙厂生产同样的产品，生产后集中到一起。已知甲厂生产的产品占60%，
概率论与数理统计天津大学作业答案
