7、理解单射、满射、双射等概念，掌握其判别方法。 [本章重点习题]
P25，1；P32~33，4，8，10； P43，2，3，5； P51~52，5，6； P59，1，2； P64，3； P74~75，2，4，6，7； P81，5，7； P86，1，2。 [疑难解析] 1、关系的概念
关系的概念是第二章全章的基础，又是第一章集合概念的应用。因此，学生应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。 2、关系的性质及其判定
关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。对于四种性质的判定，可以依据教材中P49上总结的规律。这其中对传递性的判定，难度稍大一点，这里要提及两点：一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。如空关系具有传递性，同时空关系具有对称性与反对称性，但是不具有自反性。另一点是介绍一种判定传递性的“跟踪法”，即若?a1,a2??R,?a2,a3??R,??,?ai?1,ai??R，则?a1,ai??R。如若
?a,b??R,?b,a??R，则有?a,a??R，且?b,b??R。
３、关系的闭包
在理解掌握关系闭包概念的基础上，主要掌握闭包的求法。关键是熟记三个定理的结论：定理2， r?R??R?IA；定理3， s?R??R?R?1；定理4，推论 t?R???Ri。
i?1n４、半序关系及半序集中特殊元素的确定
理解与掌握半序关系与半序集概念的关键是哈斯图。哈斯图画法掌握了，对于确定任一子集的最大（小）元，极大（小）元也就容易了。这里要注意，最大（小）元与极大（小）元只能在子集内确定，而上界与下界可在子集之外的全集中确定，最小上界为所有上界中最小者，最小上界再小也不小于子集中的任一元素，可以与某一元素相等，最大下界也同样。
５、映射的概念与映射种类的判定
映射的种类主要指单射、满射、双射与非单非满射。判定的方法除定义外，可借助于关系图，而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行，尤其是对各种初等函数。 [例题分析]
例1 设集合A??a,b,c,d?，判定下列关系，哪些是自反的，对称的，反对称的和传递的：
R1???a,a?,?b,a??R5???a,c?,?b,d??R2???a,a?,?b,c?,?d,a??R3???c,d??R4???a,a,?,?b,b?,?c,c??解：均不是自反的；R4是对称的；R1 ,R2 ,R3 , R4 ,R5是反对称的；R1 ,R2 ,R3 , R4 ,R5是传递的。
1,2,3,4,5?，A上的二元关系R为 例2 设集合A?? R???1,1?,?2,2?,?3,3?,?3,4?,?4,4?,?5,3?,?5,4?,?5,5?? （１）写出R的关系矩阵，画出R的关系图； （２）证明R是A上的半序关系，画出其哈斯图；
（３）若B?A，且B??2,3,4,5?，求B的最大元，最小元，极大元，极小元，最小上界和最大下界。 解 （1）R的关系矩阵为
?1??0 MR??0??0?0?0000??1000?0110? R的关系图略
?0010?0111?? （2）因为R是自反的，反对称的和传递的，所以R是A上的半序关系。(A,R)为半序集， (A,R)的哈斯图如下
。4 。1 。3 。2 。5
(3) 当B??2,3,4,5?，B的极大元为2，4；极小元为2，5；B无最大元与最小元；B也无上界与下界，更无最小上界与最大下界。
第三章 命题逻辑
[复习知识点]
１、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价），复合命题
２、命题公式与解释，真值表，公式分类（恒真、恒假、可满足），公式的等价
３、析取范式、合取范式，极小（大）项，主析取范式、主合取范式 ４、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法） ５、公式的蕴涵与逻辑结果 ６、形式演绎
本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、形式演绎 [复习要求]
１、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
２、理解公式与解释的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等价式化简其他公式，公式在解释下的真值。
３、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
４、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法。
５、理解公式蕴涵与逻辑结果的概念，掌握基本蕴涵式。 6、掌握形式演绎的证明方法。 [本章重点习题]
P93，1； P98，2，3； P104，2，3； P107，1，3； P112，5； P115，1，2，3。 [疑难解析]
1、公式恒真性的判定
判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。具体方法有两种，一是真值表法，对于任给一个公式，主要列出该公式的真值表，观察真值表的最后一列是否全为1（或全为0），就可以判定该公式是否恒真（或恒
假），若不全为0，则为可满足的。二是推导法，即利用基本等价式推导出结果为1，或者利用恒真（恒假）判定定理：公式G是恒真的（恒假的）当且仅当等价于它的合取范式（析取范式）中，每个子句（短语）均至少包含一个原子及其否定。
这里要求的析取范式中所含有的每个短语不是极小项，一定要与求主析取范式相区别，对于合取范式也同样。
2、范式
求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律和互补律，结果的前一步适当使用等幂律，使相同的短语（或子句）只保留一个。
另外，由已经得到的主析取（合取）范式，根据G??G?1,???G??G原理，参阅《离散数学学习指导书》P71例15，可以求得主合取（析取）范式。
3、形式演绎法
掌握形式演绎进行逻辑推理时，一是要理解并掌握14个基本蕴涵式，二是会使用三个规则：规则P、规则Q和规则D，需要进行一定的练习。 [例题分析]
例1 求G???P?Q???R??P的主析取范式与主合取范式。 解 （1）求主析取范式， 方法1：利用真值表求解
PQR P?Q ?P?Q???R G
《离散数学(第三版)》方世昌 的期末复习知识点总结复习进程
