注：求计
，类似于上述步骤，最后用
，代替
，求出矩估
2.最大似然估计的求法： 求最大似然估计的一般方法：
（1） 写出似然函数（2） 令
或
，求出驻点
（3）判断并求出最大值点，在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的最大似然估计值。比如P154 例4—6。 3. 估计量的优良性准则 （1）无偏性 定义1 设量。
（2）有效性 定义2 设
,则称
4 置信区间
（1）双侧置信区间: 设
为总体分布的未知参数，，
，若存在统计量，使得
双侧置信区间，称双侧置信上限。
（2）单侧置信区间：
是取自总体X的一个样本，对给定的数
，
，则称随机区间
为置信度，又分别称与
为
为
的
较是未知参数
的估计量，若
,则称为的无偏估计
和有效。
都是参数的无偏估计量，若
的双侧置信下限与
设数
为总体分布的未知参数，
，
，若存在统计量，则称
为
是取自总体X的一个样本，对给定的
，
的置信度为
的单侧置信区间，称，满足
的单侧置信区间，称
为
的单侧置信上
满足 为
的单侧置信下限；若存在统计量
为
的置信度为
则称限。
5.寻求置信区间的方法： 一般步骤：
（1） 选取未知参数
的某个较优估计量
的函数，使的
与
，在常用分布情况下，这可由
（2）围绕构造一个依赖于样本与参数（3）对给定的置信水平通常可选取满足分位数表查得。 （4）对不等式
，确定与与
作恒等变形后化为
则就是的置信度为的双侧置信区间。 6.置信区间的公式：
(1)0-1分布参数的置信区间：
(2)设总体
体X的一个样本。 均值
的
，其中
已知，
而为未知参数，
是取自总
置信区间为：（
，其中
，
，未知，
）
是取自总体X的一个
(3)设总体样本。
均值的置信区间为：（
，其中
，
，未知，
）
是取自总体X
(4)设总体的一个样本。
方差的置信区间为：
的置信区间为：
练习题：
习题6-2 第1，2，5，6题 习题6-3 第3，4，5，6题 习题6-4 第4题
总习题六 第7，8，9，10，16，17，18，20，21题
第1章 随机事件及其概率
（1）排列组合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方（2）加法法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 和乘法原理 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） （3）一些对立事件（至少有一个） 常见排列 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不（4）随机止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这试验和随机种试验为随机试验。 事件 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事事件、样本件，它具有如下性质： 空间和事件 ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。 为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）： 如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者（6）事件的关系与运算 件。 ，它表示A发生而B不发生的事A、B同时发生：AB，或者AB。AB=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： ，设为样本空间，为事件，对每一个事件P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 （7）概率3° 对于两两互不相容的事件，，…有 的公理化定义 常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件的概率。 （8）古典概型 1° ， 都有一个实数2° 设任一事件，它是由 =。 组成的，则有 P(A)= 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称（9）几何此随机试验为几何概型。对任一事件A， 概型 。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。 （10）加法P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 公式 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) （11）减法当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B) 公式 当A=Ω时，P()=1- P(B) 定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称（12）条件概率 件下，事件B发生的条件概率，记为为事件A发生条。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A) 乘法公式： （13）乘法更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 公式 …………。 ①两个事件的独立性 设事件立的。 若事件（14）独立性 、、满足相互独立，且，则称事件，则有 、是相互独若事件、、与、与相互独立。 必然事件和不可能事件?与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 相互独立，则可得到与也都
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
