一元二次不等式及其解法
【知识梳理】
1．一元二次不等式
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 判别式Δ＝b2－4ac 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 b???x|x≠－? 2a??? R Δ>0 有两相异实根x1，x2，(x1＜x2) Δ＝0 有两相等实根x1＝x2b＝－ 2a没有实数根 Δ<0 {x|x 【例1】 解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)x2－4x－5≤0； 81 (3)－4x2＋18x－≥0； 41 (4)－x2＋3x－5＞0； 2(5)－2x2＋3x－2＜0. [解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3， 请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！ 11 x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－，或x＜ 22－3}． (2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}． 99?? 2x－?2≤0，所以原不等式的解集为?x|x＝?. (3)原不等式可化为?2?4? ? ? (4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为?. (5)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R. 【类题通法】 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 【对点训练】 1．解下列不等式： (1)x2－5x－6>0；(2)－x2＋7x>6. (3)(2－x)(x＋3)<0；(4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)． 解：(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1， x2＝6. 结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}． (2)原不等式可化为x2－7x＋6<0. 解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为 请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！ {x|1 (3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}． (4)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2. ∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0. 2 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝. 3 2 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为{x|x≠}. 3 题型二、解含参数的一元二次不等式 【例2】 解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0. [解] 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}； 当a＝－1时，原不等式解集为?； 当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}． 【类题通法】 解含参数的一元二次不等式时： (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【对点训练】 2．解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)． 解：原不等式可化为： (ax＋1)(x－1)＜0， 请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！ 当a＝0时，x＜1， 1 x＋?(x－1)＜0 当a＞0时??a?1 ∴－＜x＜1. a 当a＝－1时，x≠1， 1 x＋?(x－1)＞0， 当－1＜a＜0时，??a?1 ∴x＞－或x＜1. a1 当a＜－1时，－＜1， a1 ∴x＞1或x＜－， a综上原不等式的解集是： 当a＝0时，{x|x＜1}； 1?? 当a＞0时，?x|－a＜x＜1?； ? ? 当a＝－1时，{x|x≠1}； 当－1＜a＜0时， 1?? ?x|x＜1或x＞－?. a?? 1?? 当a＜－1时，?x|x＜－a或x＞1?， ? ? 题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系 【例3】 已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2 ＋ax＋1＞0的解集． [解] ∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}， ∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根． 请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！ ??－a＝1＋2， 由韦达定理有? ?b＝1×2，???a＝－3， 得? ??b＝2， 代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0. 1 由2x2－3x＋1＞0?(2x－1)(x－1)＞0?x＜或x＞1. 21 －∞，?∪(1，＋∞)． ∴bx2＋ax＋1＞0的解集为?2??【类题通法】 1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 【对点训练】 1 3．已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2. 2(1)求a、b的值； (2)解不等式ax2＋bx－1＞0. 1 解：(1)∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2， 2 ? 由根与系数的关系，得?12 －×2＝?2a. 解得a＝－2，b＝3. 1b－＋2＝－，2a (2)由(1)知，ax2＋bx－1＞0可变为－2x2＋3x－1＞0， 请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！
高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法
