题目： 变量代换求解常微分方程
院 （系）： 理学院 专 业： 信息与计算科学
学 生： 郝腾宇
摘 要
本问总结了变量代换在常微分方程中的应用，借助恰当的变量代换简化为可解类型，求出其通解或特解，同时举出实例加以证明。
变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法。常微分方程通解的求法具有多样性,不同类型的微分方程有不同的解 。其中变量代换法是求解常微分方程行之有效的方法,我们如果能通过适当的变量代换法将复杂的微分方程化为可解类型,这样能使求解问题大为简化,进而求出通解。本文就变量代换法在常微分方程课程中的应用展开探讨,给出各种类型常微分方程恰当的变量代换求其通解或者特解。
关键词：常微分方程、变量代换法、通解、特解
目 录
一、 二、 三、 四、 五、 六、 七、
变量代换法求解一阶微分方程……………………………………………………………3
变量代换法求解二阶微分方程…………………………………………………………………6 变量代换法求解三阶微分方程…………………………………………………………………7 变量代换法求解n阶微分方程…………………………………………………………………7 变量代换法求解Euler阶微分方程……………………………………………………………9 变量代换法在研究解或轨线性态中的应用…………………………………………….10 函数变换法求解常微分方程……………………………………………………………………11
八、 九、
三角变换法求解常微分方程……………………………………………………………………13 拉普拉斯变换求解常微分方程………………………………………………………… ……14
1变量代换法求解一阶微分方程
dya1x?b1y?c1?y?1）对于齐次微分方程 是u的连续 ?g?? ，这里?dxxdax?by?c??x222函数，做变量代换u?
dyg?u??uyd，使方程化为变量分离方程u?，可求解。 xdxxdydx?a1x?b1y?c1，这里a1，b1，c1，a2，b2，c2均
a2x?b2y?c22)对于准齐次微分方程为常数。
①当
da1b1c1??=k（常数）时，方程直接化为y?k，有通解： a2b2c2dx
a1b1c??k?1时，做变量代换u?a2x?b2y，将方程化为变量分离方a2b2c2②当程
由上式可求解。
a1b1X?x???时，做变换?③当，其中??,??为直线a1x?b1y?c1?0 ?a2b2?Y?y??和直线a2x?b2y?c2?0在xoy平面的交点，将方程转化为齐次方程
由上式可求解。
3）对于更一般的类型
c2均为常数
dy?ax?b1y?c1????1?，这里a1，b1，c1，a2，b2， dx?a2x?b2y?c2?dya1b1c1①当??=k（常数）时，方程直接转化为?f(k)，有通解
a2b2c2dxy?f(k)x?c；
②当
a1b1c??k?1时，做变量代换u?a2?b2y，将方程化为变量分离方 a2b2c2程
由上式可求解。 ③当
a1b1?X?x???时，作变换?，其中（?,?）为直线a1x?b1y?c1?0 a2b2?Y?y??和直线a2x?b2y?c2?0在xoy平面的交点，将方程化为齐次方程
由上式即可求解。 4）对于方程
dy?f(ax?by?c)，这里a，b，c均为常数，作变量代换dxu?ax?by?c，将方程化为变量分离方程
由上式可求解。
5）对于方程yf(mx?y)dx?xg(nx?y)dy?0，这里m，n，?均为常数，作变量变换u?x?y，将方程化为变量分离方程
由上式即可求解。 6）对于方程x??1化为变量分离方程
由上式即可求解。
dy?f(xay)，这里?为常数，作变量变换u?x?y，是方程dx7）对于方程M(x,y)(xdx?ydy)?N(x,y)(xdy?ydx)?0，其中M,N为关于x，y的其次函数，做变量变换u?
由上式即可求解。 8）对于Bernoulli方程
y
，化为变量分离方程 x
dy?P(x)y?Q(x)yn，这里P(x)，Q(x)为连续函 dx数，n?0,1为常数。当y?0时用y?n乘以原方程两边得
作变量代换
使方程化为线性微分方程
dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)，可求解。 dx9）对于Riccati方程
dy?P(x)y2?Q(x)y?R(x)，当R(x)恒为零时，Riccatidx方程就是Bernoulli方程，可采用8）中的变换求解；
当R(x)不为零时，若y（x）为Riccati方程的一特解，作变量代换z?y?y(x)，使方程化为一个关于z的Bernoulli方程
由上式即可求解。
dy?P(x)y?Q(x)，若Q(x)=0，则方程dxP(x)dxdy?P(x)y，有通解y?ce?变为一阶齐次线性微分方程； dx10）对于一阶非齐次线性微分方程若Q(x)?0对原方程作变量变换y?c(x)e?P(x)dx，求得待定函数
?P(x)dxc(x)??Q(x)e?dx?c，代会变换，即得方程的通解。
2 变量代换法求解二阶微分方程 1)对于二阶变系数齐次微分方程
d2ydy 2?p(x)?q(x)y?0 （1）
dxdx设y?y1?0是方程（1）的一特解，变量变换y?y1?tdx，将方程化为一阶线性微分方程y1dt?[2y'1?p(x)y1]t?0，可求解。 dx2)对于二阶变系数线性非齐次微分方程
d2ydy?p(x)?q(x)y?f(x) （2） dx2dxq'(x)?2p(x)q(x)?c1（c1 为常数）时，作自变量代换 当方程（2）满足3/2[q(x)]t??c2q(x)dx（c2 为常数） （3）
则方程（3）可化为
?dyd2y?aq'(x)c2q(x)2???p(x)aq(x)??q(x)y?f(x) （4）
dt?2q(x)?dt方程（4）两边乘除以c2q(x)，得
d2yq'(x)?2p(x)q(x)dy1f(x) （5） ???y?3/22dt2dtccq(x)2c2?q(x)?2由于 所以q'(x)?2p(x)q(x)2c2?q(x)?3/2?1c1?c?常数，又2 为常数，
c2c2由此可知，方程（2）可化为二阶常系数线性微分方程
d2ydy1?c?y?g(t) 。 dt2dtc23 变量代换发求解三阶微分方程 1）考虑三阶变系数齐次微分方程
2d3y5dy4dyx?ax?ax?a0y?021dx3dx2dx （6） 61当a1?6 和a2?6时，可作变换x? ，则方程（6）可化为
td3yd2y2dy?(6?a1?2a2)x?(6?a2)x2?a0y?0 （7） dx3dtdt将a1?6和a2?6代入（7）得到常系数齐次微分方程 2）考虑三阶变系数线性非齐次微分方程
2??G'?d3y?G'?d2y?2G'''dy??aG?3?2??bG?3???3?aG??cG3y?f(x) （8） 3dxG?dxGdx????G???其中G?G(x) ，f(x) 都是x 的已知连续函数，且G(x)二次可微，
G(x)?0,a,b,c为常数。作自变量变换t??G(x)dx，则方程可化为
变量代换求解常微分方程
