1.4 速度场由??=(αx+??2，βy???2，0)给出，求速度及加速度的拉格朗日表示。
2
??=????=αx+?? ????
解：对欧拉型速度分量??=????=βy???2进行积分，
??=????=0{????
????
??=??1???????????2???2?????3得{??=????????+1??2+2??+2 2????2??3
??=??3
??1=??+??3
令t=0时，(x，y，z)=（a，b，c），代入上式，得，{??=???2 2??3??3=??则质点的拉格朗日描述为{??=(???
????
2
122
??=(??+??3)???????????2???2?????3
2
1
2
2
2122
????2
)??+??+??+323??????????=??
2
2
2
????
??=????=??(??+??3)??????????2 ????222
速度的拉格朗日描述为??=????=??(?????3)??????+????+??2.
???? ??==0{????2????
????=????=??(??+??3)????? ????22
加速度的拉格朗日描述为????=????=??2(?????3)??????+??
???? ??==0??{????
????
2
2
1.5 已知质点的位置表示如下：x=a，y=b+a(???2???1)，z=c+a(???3???1) 求：（1）速度的欧拉表示；
（2）加速度的欧拉表示及拉格朗日表示，并分别求(x，y，z)=（1，0，0）及（a，b，c）=（1，0，0）的值；
（3）过点（1，1，1）的流线及t=0时在（a，b，c）=（1，1，1）这一质点的迹线；
（4）散度、旋度及涡线； （5）应变率张量及旋转张量。
解：（1）速度的拉格朗日描述为??==?2?????2??
????
??=????=?3?????3??{??????=0
将a=x代入上式可得速度的欧拉描述为{??=?2?????2??
??=?3?????3??
????=
????
????????
??=
????
????????
=0
=0
（2）加速度的拉格朗日描述为????==4?????2??。
????
??=????=9?????3??{??????
????=
????
????????
=0
加速度的欧拉描述为????==4?????2??。
????
??=????=9?????3??{??????
过(x，y，z)=（1，0，0）及（a，b，c）=（1，0，0）时的拉格朗日描述????=0
加速度和欧拉描述加速度均为{????=4???2??
????=9???3??（3）由速度的欧拉表示，得u=
2
dx
dyv
=
dz
，即?2?????2??=?3?????3?? w
dydz
积分，得x=??1，??=3??????+??2。过点(x，y，z)=（1，1，1）时，
2
??1=1，??2=1?????
3
则过点（1，1，1）时的流线为x=1，??=3????(???1)+1
将(a，b，c)=(1，1，1)代入原方程可得，t=0时在（a，b，c）=（1，1，1）这一质点的迹线为x=1，??=???2??，z=???3?? （4）已知??=?2?????2?????3?????3????
则散度????=(??????+??????+??????)?(?2?????2?????3?????3????)=0
??
旋度?×??=|????
0
dx
dy
??
??
2
??????
??
??????
??
??????
??
|=3???3?????2???2????
?2?????2??
dz
??
?3?????3??
涡线方程??=??=??，其中????=0，????=3???3??，????=?2???2??
积分，得z=?3??????+??3，x=??4
0
（5）应变率张量S=(????2??
3
?2???3??
0
旋转张量A=(????2??
3
?2???3??
2
????2??00
3?3????2
?2???3??
00
)
3
???2??00
0) 0
1.8 已知拉格朗日描述为x=a???2??/??，y=b????/??,z=c????/?? （1）问运动是否定常，是否不可压流体，是否无旋流场； （2）求t=1时在（1，1，1）点的加速度； （3）求过点（1，1，1）的流线。
解：（1）由拉格朗日位置描述反解出拉格朗日坐标，
a=x??2??/??，??=???????/??，??=???????/??
?2??/??
??=????=a???? ????1
速度分量为??==??????/??，将拉格朗日坐标代入上式，得速度的欧拉描
?????? ???? ??==??1????/??
{??????
????
?2
述为
????2
??==?x
??????
????1??==y
??????
????1
{??=????=??z
?2??/??
????=a??2?? 1
同理可得加速度的拉格朗日描述????=????2????/??。
????=??1????/??
??2{
4
????=??2??
1
加速度的欧拉描述????=??2??。
????=1??
??2{
因速度与加速度的欧拉描述均与时间t无关，故上述运动为定常运动。
4
由于速度的散度????=????+????+
??
速度的旋度?×??=|
??????2??
????????????????
=???+??+??=0，流体为不可压流体。 =0，故流场无旋。
211
??
??????1??
??
??????|1??
?xyz
????=??2 1
（2）t=1时在（1，1，1）点的加速度为????=??2。
????=1
??2{（3）流线方程为u=
dx
dyv
4
=
dz
，即
w
dx
2?x??
=
dy
1y??
=
dz
1z??
，积分上式，得
x??2=??1，??=??2??
将(x，y，z)=（1，1，1）代入上式，得??1=??2=1. 因此，过点（1，1，1）的流线为
x??2=1，??=??
———————————————————————————————————————
1.11 已知u=(a?1)????+1，y=1?(b+1)?????，??=0，求 （1）加速度场及t=1时在x=1，y=1处的值；
（2）迹线及流线及经（0，1，0）处的流线和t=1时在（1，0，0）处的迹线； （3）散度及旋度。
??
??=????=(a?1)??+1 ????
解：（1）速度分量为??==1?(b+1)?????，积分上式，得
???? ???? ??==0{????
????
??=(a?1)????+t+??1{??=t+(b+1)?????+??2
??=??3
t=0时，有(x，y，z)=（a，b，c），因此上式的系数为
??1=1{??2=?1 ??3=??
即
??=(a?1)????+t+1{??=t+(b+1)??????1
??=??
??
????=????=(a?1)??=??????1 ????
加速度的欧拉描述????==(b+1)?????=?????+1
???? ???? ??==0??{????
????
????=?1
t=1时在x=1，y=1处加速度的值为{????=1
????=0
（2）由（1）知，迹线为
??=(a?1)????+t+1{??=t+(b+1)??????1
??=??由流线微分方程
dx?????
=
dy
t?y
，积分得(x?t)(y?t)=??4，z=??5
在点（0，1，0）处，将x=0，y=1，z=0代入上式，得??4=??(???1)，??5=0，因此在点（0，1，0）处的流线为(x?t)(y?t)= ??(???1)，z=0 t=1，(x，y，z)=（1，0，0）代入迹线方程
??=(a?1)????+t+1??=??????1+??+1??=1????1
{??=t+(b+1)??????1，得{??=???1，则迹线为{??=??1???+???1
??=0??=0??=??（3）散度????=(??????+??????+??????)?((?????)??+(t?y)??)=0
??
旋度?×??=|
??????
??
??
??
??
??????
??
??????
|=0
?????
t?y0
———————————————————————————————————————
??2
??2
1.15 已知????=??(1???2)????????，????=???(1+??2)????????，????=0，画出迹线及流线。
解：因速度分量与时间无关，因此流动为定常，迹线与流线重合。 圆柱坐标系下的流线微分方程为??=
??
drrdθ????
=
dz????
，即
dr
??2??(1?2)??????????
=
rdθ???(1+2)??????????
??2
积分上式，得(r?
??2??
)sinθ=??1，z=??2
周光炯版流体力学部分习题
