第六章 数理统计的基本概念
一.填空题
1.若?1,?2,?,?n是取自正态总体N(?,?2)的样本，
?1n 则????i服从分布 N(?,) .
ni?1n(n?1)2χ2(n?1)2Sn~ 2.样本(X1,X2,?,Xn)来自总体X~N(?,?)则 ； 2?1nn2(X?X)2。 (X??)~ _t(n?1)__。其中X为样本均值，Sn??n?1i?1Sn
3.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0.22)的简单随机样本，
211b(3X3?4X4)2X?a(X?2X)?12 ，则当a? a? 时，b? b?
100202 时，统计量X服从X分布，其自由度为 2 .
(x,x,L,x9)4. 设随机变量?与?相互独立, 且都服从正态分布N(0,9), 而12和
(y,y,L,y9) 12是分别来自总体?和?的简单随机样本, 则统计量
x?x?L?x9U?12~ t(9) .
222y1?y2?L?y92
X,X,L,X9Y1,Y2,L,Y165. 设X~N(0,16),Y~N(0,9),X,Y相互独立, 12与分别 为X与Y的一个简单随机样本,
2X12?X2?L?X92 则2服从的分布为 F(9,16). 22Y1?Y2?L?Y16
6. 设随机变量X~N(0,1), 随机变量Y~?2(n), 且随机变量X与Y相互独立,
X 令T?, 则T2~ F(1,n) 分布.
YnX2X2解：由T?, 得T?. 因为随机变量X~N(0,1), 所以X2~?2(1).
YYnnX22~F(1,n). 再由随机变量X与Y相互独立, 根据F分布的构造, 得T?Yn1nXk27. 设X1,X2,L,Xn是总体N(0,1)的样本, 则统计量服从的分布为 ?2n?1k?2X1
F(n?1,1) (需写出分布的自由度).
解：由Xi~N(0,1),i?1,2,L,n知X~?(1),?Xk2~?2(n?1), 于是
212n
?Xk?1nk?22k(n?1)X12/121nXk2?~F(n?1,1). ?2n?1k?2X1(X1?X2)28. 总体X~N(1,2),X1,X2,X3,X4为总体X的一个样本, 设Z?服
(X3?X4)2 从 F(1,1) 分布(说明自由度)
?X?X2?2解：由X1?X2~N(0,2?), 有?1?~?(1), 2???22?X?X4?2 又 X3?X4~N(0,2?2), 故?3?~?(1), 2????X?X2??X3?X4? 因为?1与???独立,
2??2?????X1?X2? 所以??~F(1,1).
X?X4??322229.判断下列命题的正确性：( 在圆括号内填上“ 错” 或“ 对”)
(1) 若 总 体 的 平 均 值 与 总 体 方 差 2 都 存 在 ， 则 样 本 平 均 值 x是 的 一 致 估 计。 ( 对 )
$为 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( 错 ) ?)???0则 称 ?(2) 若 E(?
(3) 设总体X 的期望E(X)，方差D(X)均存在，x1,x2 是X 的一个样本 ，
12 则统计量x1?x2是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 )
33
?$?)?D(??)则 以 ?2估 计 较 以 ?1估 ?)?E(??)??且 D(?(4) 若 E(?1212 计 有 效 。 ( 错 )
$$???|??}?0 则称 ?n (5) 设?n为 的估计量，对任意 > 0，如果limP{|?nn?? 是 的一致估计量 。 ( 对 )
21n2X~N(?,?)中2 的无偏 X?X （6）样本方差Dn?是总体?in?1i?1??1n 估计量。D??Xi?X是总体X中2的有偏估计。 （ 对 ）
ni?1*??2
10.设X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，则下面三个均值估计量
5X313111131?1?X1?X2?X3,u?2?X1?X2??3?X1?X2?X3?,u510234123412 都
?2 最有效. 是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则 ?
二、选择题
1、设总体?服从正态分布N(N,?)，其中?已知，?未知，?1,?2,?3是取自总体?的一个样本，则非统计量是( D ).
A、(?1??2??3) C、max(?1,?2,?3)
213
B、?1??2?2? D、
21?2(?12??22??32)
211n(?i??)2，2、设?1,?2,??n是来自正态总体N(?,?)的简单随机样本S??n?1i?11n1n1n22222S2??(?i??)，S3?(?i??)，S4??(?i??)2，则服从自由度为?ni?1n?1i?1ni?1n?1的t分布的随机变量是( B ).
????????????A、
S1/n?12 B、
S2/n?1 C、
S3/n D、
S4/n
3、设?~N(1,2)，?1,?2,??n为?的样本，则( C ).
24??1??1~N(0,1) ~N(0,1) C、 D、
2/n2/n4、设?1,?2,??n是总体?~N(0,1)的样本，?,S分别是样本的均值和样本标准差，
则有( C )
A、n?~N(0,1) B、?~N(0,1) C、
A、
??1~N(0,1)
B、
??1~N(0.1)
??i?1n2i~x2(n) D、?/S~t(n?1)
5.. 简 单 随 机 样 本 (X1,X2,? ,Xn) 来 自 某 正 态 总 体，X 为 样 本 平 均 值， 则 下 述 结 论 不 成 立 的 是 ( C )。
( A ) X 与 ( C )
?(Xi?1ni?1ni?X?)2独 立
2i( B )Xi 与Xj 独 立 ( 当 i?j ) i?j)
n2?Xi?1ni 与
?X2 独 立
( D )Xi 与Xj 独 立 ( 当
26. 设
体Y￡,
2S1n12X1, X2, ?,Xn1， 来自总体X,X~N(?1,?1), Y1,Y2,?,Yn2 来自总
Y~N(?,?22)， 且 X 与 Y 独 立。Xn211n11??Xi,, Y?n1i?1n2?Yi,,
i?11n11??(Xi,?X)2, S2?2n2n1i?1n2??[(X?Y)?(?1???2)]?(Yi,?Y)2,
i?1 则如下结论中错误的是 ( D )。 ( A ) ( B )
2?1?22?n1n2~N(0,1)
??n1(n2?1)?n2(n1?1)2n1S1n1?222?1?2S1n1S22n2~F(n1?1, n2?1)
( C )
????( D )
2?1?22n1? n2?2???n2S22n2~?2(n1? n2?2) ~t(n1? n2?2)
?2 7. 设X1,X2,?Xn是取自总体N(0,?)的样本，则可以作为?2的无偏估计量是
( A ).
1nXi D、?n?1i?1131?1?X1?X2?X3，8. 3、设X1,X2,X3是来自母体X的容量为3的样本，?5102115111?2?X1?X2?X3，??3?X1?X2?X3，则下列说法正确的是( B ). ?3412362?1,??2,??3都是??E(X)的无偏估计且有效性顺序为??1???2???3 A、?1n2A、?Xi
ni?11n2Xi B、?n?1i?11nC、?Xi
ni?1?1,??2,??3都是??E(X)的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为B、??2???1???3 ??1,??2,??3都是??E(X)的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为C、??3???2???1 ??1,??2,??3不全是??E(X)的无偏估计，无法比 D、?
三. 计算题
1、在总体X~N(30,22)中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值X在 29到31之间取值的概率.
2212解：因X~N(30,2)，故X~N(30,)，即X~N(30,()2)
162X?30?P(20?X?31)?P(?2??2)??(2)??(?2)?2?(2)?1?0.9544
122、设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N(1000,?2)(单位：小时)，抽取一容量 为9的样本，其均方差S?100，问P(X?940)是多少
解：因?未知，不能用X?N(1000,而T?2?2n)来解题，
X??X??~t(n?1) ?T?~t(8) SS3nX??940???P(X?940)?P(?)而S?100,??1000
SS33，(940?1000)?3?P(X?940)?P(T?)?P(T??1.8)?P(T?1.8)
100 由表查得P(X?940)?P(T?1.8)?0.056
3、设X1,X2,?X7为总体X~N(0,0.5)的一个样本，求P(?Xi2?4).
27i?1解：X~N(0,0.5)
2?2Xi~N(0,1)
272i7i?1i?1?
?(2Xi?17i)?4?X~x(7) ?P(?X?4)?P(4?Xi2?16)?0.025
22ii?174、设总体X~N(0,1)，从此总体中取一个容量为6的样本X1,X2,X3,X4,X5,X6， 设Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2，试决定常数C，使随机变量CY服 从x2分布.
解：X1?X2?X3~N(0,3)，X4?X5?X6~N(0,3)
X4?X5?X6~N(0,1)
33X?X2?X32X?X5?X62?(1)?(4)~x2(2)
3311即(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2~x2(2) 33?~N(0,1)，
X1?X2?X3
第6章数理统计的基本概念习题及答案
