五年级奥数
第1讲 数字谜（一）
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只
准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
例3 在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。
例4 已知六位数33□□44是89的倍数，求这个六位数。
例5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你
用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。
FORTY TEN + TEN SIXTY
例6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上
适当的数字，使竖式成立。
练习1
1.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。
2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数
字代替字母，使竖式成立：
（1） A B (2) A B A B + B C A - A C A A B C B A A C
3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。
4.在下面的算式中填上若干个（ ），使得等式成立：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8。
5.将1～9分别填入下式的□中，使等式成立：□□×□□=□□×□□□=3634。
6.六位数391□□□是789的倍数，求这个六位数。
7.已知六位数7□□888是83的倍数，求这个六位数。
第2讲 数字谜（二）
这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相
例2 在□内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。
□□□
× 8 1
□□□ □□□ □□□□□
例3 左下方的除法竖式中只有一个8，请在□内填入适当的数字，使除法竖式成立。
□8 □
□□□)□□□□□□ □□□□ □□□ □□□ □□□□
□□□□ 0
例4 在□内填入适当数字，使小数除法竖式成立。
例4图 例5图
例5 一个五位数被一个一位数除得到右上图竖式（1），这个五位数被另一个一位数除得到右
上图的竖式（2），求这个五位数。
练习2
1.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求出abcd及abcxyz (1)1abcd×3=abcd5 (2)7×abcxyz=6×xyzabc
2.用代数方法求解下列竖式： 3.在□内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立： □ 8 □ 7 □.□ □ □ □ □ □□)□□ □ □□ □ □.□) □ □ □.□□) □.□ □□ □ □ □ □ □ □ □
□ □ □ 8 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 0 0 □ □ 0
第3讲 定义新运算（一）
例1 对于任意数a，b，定义运算“*”： a*b=a×b-a-b。求12*4的值。
例2 已知a△b表示a的3倍减去b的，例如根据以上的规定，求
10△6的值
3，x>=2，求x的值。
例6 对于任意自然数，定义：n！=1×2×… ×n。
例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是几？
例7 如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。 求3¤（4¤6）¤12的值。
练习3
1.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。
2.已知ab表示a除以3的余数再乘以b，求134的值。
3.已知ab表示（a-b）÷（a+b），试计算：（53）（106）。
4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。
5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍，即 m◇n=3m-2n。
（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。
7.对于任意的两个数P， Q，规定 P☆Q=（P×Q）÷4。例如：2☆8=（2×8）÷4。
已知x☆（8☆5）=10，求x的值。
8.定义： a△b=ab-3b，ab=4a-b/a。计算：（4△3）△（2b）。
9.已知： 23=2×3×4，45=4×5×6×7×8，……求（44）÷（33）的值。
第4讲 定义新运算（二）
例1 已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。
例2 定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，
其中a，b为任意两个数，k为常数。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。 （1）已知5⊙2=73。问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？
（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新运算“⊙”符合交换律？
例3 对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，
b]-（a，b）。比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。 （1）求12☆21的值；（2）已知6☆x=27，求x的值。
例4 a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转。
定义运算“◎”表示“接着做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。
例5 对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1， g（b）=b×b。 （1）求f（5）-g（3）的值；
（2）求f（g（2））+g（f（2））的值； （3）已知f（x+1）=21，求x的值。 练习4
2.定义两种运算“※”和“△”如下： a※b表示a，b两数中较小的数的3倍， a△b表示
a，b两数中较大的数的2.5倍。 比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。 计算：[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。
4.设m，n是任意的自然数，A是常数，定义运算m⊙n=（A×m-n）÷4，
并且2⊙3=0.75。试确定常数A，并计算：（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。
5.用a，b，c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：a表示顺时针旋转
240°，b表示顺时针旋转120°，c表示不旋转。 运算“∨”表示“接着做”。试以a，b，c为运算对象做运算表。
6.对任意两个不同的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为ab。比如73=1，529=4，420=0。（1）计算：19982000，（519）19，5（195）； （2）已知11x=4，x小于20，求x的值。
7.对于任意的自然数a，b，定义：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。
（1）求f（g（6））-g（f（3））的值；（2）已知f（g（x））=8，求x的值。
第5讲 数的整除性（一）
1. 整除的定义、性质.定义：如果a、b、c是整数并且 ，则称a能被b整除或者
b能整除a，记做，否则称为a不能被b整除或者b不能整除a，记做b| a. 2、性质（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互
质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
整除的数的特征
1、 被2整除特征：个位上是0,2,4,6,8 2、 被5整除特征：个位上是5,0 3、 能被3或9整除的数的特征是：各个数位的数字之和是3或9的倍数 4、被4、25整除的数的特征：一个数的末2位能被4、25整除 5、被8、125整除的数的特征：一个数的末3位能被8、125整除
6、被7整除的数的特征 ：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,
如果差
是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 7、能被11整除的数的特征 ： 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。 —→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。
8、能被13整除的数的特征 ：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4
倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就
重复此过程。如：判断1284322能不能被13整除。 128432+2×4=128440 12844+0×4=12844 1284+4×4=1300 1300÷13=100 所以，1284322能被13整除。 9、被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差（大数－小数）能被7、11、13整除，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
例如：判断556584能不能被7整除 末三位584 末三位之前的数556，
小学五年级奥数讲义(学生版)30讲全
