常见数列通项公式的求法
2.已知数列{an}满足a1??6，
an?1?an?3(n?N*)，求数列{an}的通项公式。 (逐差相加法)求解
an?1?an?2?3n?1， (n?N*)，
类型一：公式法1（或定义法） 例：已知数列{an}满足an?1?an?2n?1(n?N*)a1?3，求数列{an}的通项公式。
，例1. 已知数列{an}满足a1?1，an?1?an?2(n?N)，求数列{an}的通项公式。
*4.已知数列?an?中，a1?2，
3. 已知数列{an}满足a1?1，a2?1121??(n?2)，，2an?1an?1ana1?1，求数列{an}的通项公式。 1an?1?an?ln(1?)，求数列{an}n的通项公式。
变式练习： 1，2例2.已知数列{an}满足a1?2，an?1?3 (n?N*)，求数列{an}an求数列{an}的通项公式。 1.已知数列?an?满足a1?*类型三：（叠乘法）an?1?f(n)an
4.已知数列{an}满足a1?1，an?1?3an(n?N*)，求数列{an}an?1?an?2n，(n?N)求数列解法：把原递推公式转化为
an?1?f(n)，利用累乘法(逐商an的通项公式。
{an}的通项公式。 的通项公式。 变式练习：
类型二：（累加法）1.已知数列{an}满足a1?2，an?1?an?1?0(n?N*)，求数列an?1?an?f(n) 2.已知数列?an?满足a1?1，an?an?1?1，(n?2)，求n(n?1)相乘法)求解
例：在数列{an}中，已知a1?1，
nan?1?(n?1)an，(n?2)，求数
数列{an}的通项公式。 解法：把原递推公式转化为{an}的通项公式。
an?1?an?f(n)，利用累加法
列{an}的通项公式。
3.已知数列{an}满足
变式练习：
2，3解法：这种类型一般利用
2.已知数列{an}的前n项和为
Sn，Sn?n2?5n?1
例：已知数列?an?中，a1?1，
an?1?2an?1，求数列{an}的通
1.已知数列?an?满足a1?an?1?与an?Sn?Sn?1?f(an)?f(an?1)项公式。
求数列{an}的通项公式。 变式练习：
nan，(n?N*)，求数n?1消去Sn (n?2)或与列{an}的通项公式。
3n?1an 3n?2Sn?f(Sn?Sn?1)(n?2)消去an3.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn?2n?3， 进行求解。 2.已知a1?3，an?1?1. 已知数列{an}满足a1?3，
an?1?2an?1
例. 已知数列{an}的前n项和为Sn求数列{an}的通项公式。 (n?N*)，求数列{an}的通项公
(n?1)，求数列{an}的通项公，a1?2且类型五：待定系数法 式。
Sn?2an?1(n?2)．求数列{an}的式。
2.已知数列?an?中，a1?1，
3an?1?4an?6，求数列{an}的
3.已知数列 {an} 满足an?1?2?5nan(n?N*)， 通项公式。 an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)） 解法：构造新数列?bn?；1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn?4an?2， a1?3，求数列{an}的通项公式。 通项公式。
类型四：递推公式为Sn与an的关系式Sn?f(an)
求数列{an}的通项公式。 an?1???p解出?，可得数列an??bn?an??为等比数列
3.已知数列{an}的前n项和为
Sn，且
2Sn?3an?2n(n?N*)．求数列{an}的通项公式。
(n?N*)，求数列{an}的通项公
以
?为公差的等差数列； p类型一：公式法
1，求log23式。
例. 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数例 .已知log3x?类型六：交叉项问题
2. 已知首项都为1的两个数列{an}、{bn}（bn?0n?N*），满x?x2?x3?????xn????的前n解法：一般采用求倒数或除以交足 叉项得到一个新的等差数列。
anbn?1?an?1bn?2bn?1bn?0，令列{an}的通项公式。 项和.
变式练习： 变式练习
例：已知数列{an}满足a1?1，an?1?2an(n?N*)，求数列an?2cn?an求数列{cn}的通项公式。 bn1.已知数列{an}满足an?1?5an?5n?1，a1?1，求数1.数列{an}中，an?2n?1,求
Sn.
类型七：（公式法2） 列{an}的通项公式 2.等比数列{an}的前n项和
Sn?2n?1{an}的通项公式。
（an?1?pan???pn）p>0; 变式练习：
解法：将其变形为1.已知数列{an}满足a1?1，nan?1?(n?1)an?2.已知数列{an}满足an?1?3an?4?3，a1?1，求数n,求
222. a12?a2?a3???ann(n?1)，
?an?an?1an?，即数列???n?为n?1nppp?p?列{an}的通项公式。 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n项和：
数列求和的常用方法
1111?1,?4,2?7,???,n?1?3n?2222f(1)?f(2)?f(3)
（2）设cn?，…
类型四：错位相减法： 变式练习
1.已知数列{an}中，an?2n?3n，求Sn.
an，求数列{cn}的bn又bn?2，求数列{bn}的
an?an?1前n项和Tn. 前n项的和.
例.数列{an}中，an(2n?1)?2n?1，求Sn. 类型五：裂项相消法 例.已知数列{an}中，3.求和
求数列的通项与求和作业
变式练习 2.已知数列{an}中，1an?(2n?1)?n，求Sn.
2an?1，求Sn. n(n?2)1.已知数列{an}的首项a1?1
1.求数列2462n,2,3,???,n,???前2222n项的和. 2.数列{an}的前n项和为求Sn?2n2，{bn}为等比数列，且1.求数列（1）若an?1?an?2，则
an?__________；
类型三：倒序相加法 例
.
111,,???, 1?22?3n?n?1（2）若
的前n项和. an?1?2an，则
an?_________
sin21??sin22??sin23??????sin288??sin89的值.
2?a1?b1,b2(a2?a1)?b1. 2.在数列{an}（1）求数列{an}和{bn}的通项an?中，（3）若an?1?an?n?1，则
an?__________；
12n， ??????n?1n?1n?11.已知f(x)?11?x，求
公式；
{an}an?1?2n?an（4）若，则
5. 等比数列 的前n项和
Sn?2n?1，求
Sn，且对任意正整数n都有
222a12?a2?a3???anan?_______ 2Sn?(n?2)an?1．
（5）若nan?(n?1)an?1，则an?__________；
6.求和： （1）求数列{an}的通项公式； 7. 求和： 8. 设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1?b1?1（6）若an?3an?1?2(n?2)，则an?__________；
anan?1（Tn?2）?设1an?an?211??a1?a3a2?a4，a3?b5?21，（7）若
an?1?，则，求Tn． a5?b3?13 {bn}的通项公式；（Ⅰ）求{an}，an?__________。
3.
?an?（Ⅱ）求数列??的前n项和?bn?Sn． 2
4.
9.已知数列{an}的前n项和为
数列的通项公式与求和的常见方法
