常见数列通项公式的求法
2.已知数列{an}满足a1??6,
an?1?an?3(n?N*),求数列{an}的通项公式。 (逐差相加法)求解
an?1?an?2?3n?1, (n?N*),
类型一:公式法1(或定义法) 例:已知数列{an}满足an?1?an?2n?1(n?N*)a1?3,求数列{an}的通项公式。
,例1. 已知数列{an}满足a1?1,an?1?an?2(n?N),求数列{an}的通项公式。
*4.已知数列?an?中,a1?2,
3. 已知数列{an}满足a1?1,a2?1121??(n?2),,2an?1an?1ana1?1,求数列{an}的通项公式。 1an?1?an?ln(1?),求数列{an}n的通项公式。
变式练习: 1,2例2.已知数列{an}满足a1?2,an?1?3 (n?N*),求数列{an}an求数列{an}的通项公式。 1.已知数列?an?满足a1?*类型三:(叠乘法)an?1?f(n)an
4.已知数列{an}满足a1?1,an?1?3an(n?N*),求数列{an}an?1?an?2n,(n?N)求数列解法:把原递推公式转化为
an?1?f(n),利用累乘法(逐商an的通项公式。
{an}的通项公式。 的通项公式。 变式练习:
类型二:(累加法)1.已知数列{an}满足a1?2,an?1?an?1?0(n?N*),求数列an?1?an?f(n) 2.已知数列?an?满足a1?1,an?an?1?1,(n?2),求n(n?1)相乘法)求解
例:在数列{an}中,已知a1?1,
nan?1?(n?1)an,(n?2),求数
数列{an}的通项公式。 解法:把原递推公式转化为{an}的通项公式。
an?1?an?f(n),利用累加法
列{an}的通项公式。
3.已知数列{an}满足
变式练习:
2,3解法:这种类型一般利用
2.已知数列{an}的前n项和为
Sn,Sn?n2?5n?1
例:已知数列?an?中,a1?1,
an?1?2an?1,求数列{an}的通
1.已知数列?an?满足a1?an?1?与an?Sn?Sn?1?f(an)?f(an?1)项公式。
求数列{an}的通项公式。 变式练习:
nan,(n?N*),求数n?1消去Sn (n?2)或与列{an}的通项公式。
3n?1an 3n?2Sn?f(Sn?Sn?1)(n?2)消去an3.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn?2n?3, 进行求解。 2.已知a1?3,an?1?1. 已知数列{an}满足a1?3,
an?1?2an?1
例. 已知数列{an}的前n项和为Sn求数列{an}的通项公式。 (n?N*),求数列{an}的通项公
(n?1),求数列{an}的通项公,a1?2且类型五:待定系数法 式。
Sn?2an?1(n?2).求数列{an}的式。
2.已知数列?an?中,a1?1,
3an?1?4an?6,求数列{an}的
3.已知数列 {an} 满足an?1?2?5nan(n?N*), 通项公式。 an?1?pan?q(其中p,q均为常数,(pq(p?1)?0)) 解法:构造新数列?bn?;1. 已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn?4an?2, a1?3,求数列{an}的通项公式。 通项公式。
类型四:递推公式为Sn与an的关系式Sn?f(an)
求数列{an}的通项公式。 an?1???p解出?,可得数列an??bn?an??为等比数列
3.已知数列{an}的前n项和为
Sn,且
2Sn?3an?2n(n?N*).求数列{an}的通项公式。
(n?N*),求数列{an}的通项公
以
?为公差的等差数列; p类型一:公式法
1,求log23式。
例. 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n,a1?2,求数例 .已知log3x?类型六:交叉项问题
2. 已知首项都为1的两个数列{an}、{bn}(bn?0n?N*),满x?x2?x3?????xn????的前n解法:一般采用求倒数或除以交足 叉项得到一个新的等差数列。
anbn?1?an?1bn?2bn?1bn?0,令列{an}的通项公式。 项和.
变式练习: 变式练习
例:已知数列{an}满足a1?1,an?1?2an(n?N*),求数列an?2cn?an求数列{cn}的通项公式。 bn1.已知数列{an}满足an?1?5an?5n?1,a1?1,求数1.数列{an}中,an?2n?1,求
Sn.
类型七:(公式法2) 列{an}的通项公式 2.等比数列{an}的前n项和
Sn?2n?1{an}的通项公式。
(an?1?pan???pn)p>0; 变式练习:
解法:将其变形为1.已知数列{an}满足a1?1,nan?1?(n?1)an?2.已知数列{an}满足an?1?3an?4?3,a1?1,求数n,求
222. a12?a2?a3???ann(n?1),
?an?an?1an?,即数列???n?为n?1nppp?p?列{an}的通项公式。 类型二:分组求和法 例. 求数列的前n项和:
数列求和的常用方法
1111?1,?4,2?7,???,n?1?3n?2222f(1)?f(2)?f(3)
(2)设cn?,…
类型四:错位相减法: 变式练习
1.已知数列{an}中,an?2n?3n,求Sn.
an,求数列{cn}的bn又bn?2,求数列{bn}的
an?an?1前n项和Tn. 前n项的和.
例.数列{an}中,an(2n?1)?2n?1,求Sn. 类型五:裂项相消法 例.已知数列{an}中,3.求和
求数列的通项与求和作业
变式练习 2.已知数列{an}中,1an?(2n?1)?n,求Sn.
2an?1,求Sn. n(n?2)1.已知数列{an}的首项a1?1
1.求数列2462n,2,3,???,n,???前2222n项的和. 2.数列{an}的前n项和为求Sn?2n2,{bn}为等比数列,且1.求数列(1)若an?1?an?2,则
an?__________;
类型三:倒序相加法 例
.
111,,???, 1?22?3n?n?1(2)若
的前n项和. an?1?2an,则
an?_________
sin21??sin22??sin23??????sin288??sin89的值.
2?a1?b1,b2(a2?a1)?b1. 2.在数列{an}(1)求数列{an}和{bn}的通项an?中,(3)若an?1?an?n?1,则
an?__________;
12n, ??????n?1n?1n?11.已知f(x)?11?x,求
公式;
{an}an?1?2n?an(4)若,则
5. 等比数列 的前n项和
Sn?2n?1,求
Sn,且对任意正整数n都有
222a12?a2?a3???anan?_______ 2Sn?(n?2)an?1.
(5)若nan?(n?1)an?1,则an?__________;
6.求和: (1)求数列{an}的通项公式; 7. 求和: 8. 设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1?b1?1(6)若an?3an?1?2(n?2),则an?__________;
anan?1(Tn?2)?设1an?an?211??a1?a3a2?a4,a3?b5?21,(7)若
an?1?,则,求Tn. a5?b3?13 {bn}的通项公式;(Ⅰ)求{an},an?__________。
3.
?an?(Ⅱ)求数列??的前n项和?bn?Sn. 2
4.
9.已知数列{an}的前n项和为
数列的通项公式与求和的常见方法
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