值是
解析：设BC?x，则AC?122x，
根据面积公式得SVABC?AB?BCsinB?x1?cos2B ①
AB2?BC2?AC24?x2?(2x)24?x2??由余弦定理得cosB?
2AB?BC4x4x代入①式得SVABC4?x22128?(x2?12)2 ?x1?()?4x162x?x?2且x?2?2x，所以22?2?x?22?2，
由三角形三边关系有故当x?23时，SVABC取得最大值22。
点评：本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题。 例6：已知角A,B,C是VABC三个内角，a,b,c是各角的对边，向量
urrurr9A?B5A?Bm?(1?cos(A?B),cos)，n?(,cos)，且m?n?
2828（1）求tanA?tanB的值。
absinC的最大值。
a2?b2?c2urrurr9A?B5A?B解析：由m?(1?cos(A?B),cos)，n?(,cos)，且m?n?得
28285A?B9[1?cos(A?B)]?cos2?，所以4cos(A?B)?5cos(A?B)， 8281即cosAcosB?9sinAsinB，所以tanA?tanB?
9absinCabsinC1（2）由余弦定理得222??tanC，而
a?b?c2abcosC2tanA?tanB993tan(A?B)??(tanA?tanB)??2tanAtanB?
1?tanAtanB8843即tan(A?B)有最小值，又tanC??tan(A?B)，
431所以tanC有最大值?（当且仅当tanA?tanB?时取等号）
43absinC3所以222的最大值为?
a?b?c8（2）求
word.
通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。
巩固练习
1．在VABC中，a?2,c?1，则?C的取值范围为 2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是
3．在 ，且A,B,C所对的边a,b,c满足a?b?xc，则 RtVABC中，C? 2?实数x的取值范围为
4．在锐角VABC中，A?2B，AC?1，则BC的取值范围是 5．在锐角VABC中，三个内角A,B,C成等差数列，记M?cosAcosC，则M的取值范围是
6．已知锐角三角形的边长分别为1,3,a，则a的取值范围是 7．已知VABC外接圆的半径为6，若面积SVABCsinB?sinC??a2?(b?c)2且
4，则sinA? ，SVABC的最大值为 3urrurr8．在VABC中，m?(sinA,cosC),n?(cosB,sinA)，且m?n?sinB?sinC
（1）求证：VABC为直角三角形
（2）若VABC外接圆的半径为1，求VABC的周长的取值范围 9．在VABC中A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知word.
2sinA?3cosA （1）若a2?c2?b2?mbc，求实数m的值 （2）若a?参考答案
1．sinC?sinA?,C?(0,]
612123，求VABC面积的最大值。
?2．(2,??) 3．(1,2]
4．同例
BC?1知
?6?B??4，由正弦定理
ACsinAsin2B??2cosB?(2,3) sinBsinB?2?2?5．易知B?,A?C?，则M?cosAcosC?cosAcos(?A)
33313cosA?131?1??cos2A?sinAcosA???sin2A?sin(2A?)? 22442642?，31?111M?sin(2A?)??(?,]
26424 由于
0?A?所以
??6?2A??6?7?6，故
6.设1,3,a所对的角分别为
A,B,C，由三角形三边关系有
1?3?a,1?a?3且3?a?1，故2?a?4，易知B?A，要保证VABC为锐12?a2?3212?32?a2?0且?0，解角三角形，只需cosB?0,cosC?0，即
2?1?a2?1?3得22?a?10 ?a2?(b?c)2，得a2?b2?c2?bc(sinA?2) 2sinA?2cosA，易得A由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA，故有2?27．由SVABCsin2A?4cos2A，即17sin2A?8sinA?0为锐角，且4?2sinA?4，故有
sinA?8， 17word.
则b?c?2R(sinB?sinC)?12??16
1sinAb?c24256（当且仅当b?c?8时取SVABC?bcsinA?()??64?222171743等号）
即SVABC的最大值为
256 17urrurr8．（1）由m?(sinA,cosC),n?(cosB,sinA)，且m?n?sinB?sinC
得sinAcosB?sinAcosC?sinB?sinC， 由正弦定理得acosB?acosC?b?c，
a2?c2?b2a2?b2?c2?a??b?c 由余弦定理得a?2ac2ab整理得(b?c)(a2?b2?c2)?0
又由于b?c?0，故a2?b2?c2，即VABC是直角三角形 （或者：由sinAcosB?sinAcosC?sinB?sinC得，
sinAcosB?sinAcosC?sin(A?C)?sin(A?B)
化简得cosA(sinB?sinC)?0，由于sinB?sinC?0，故cosA?0， 即VABC是直角三角形）
（2）设VABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c
由于VABC外接圆的半径为1，A?，所以a?2RsinA?2，
2?所以b?c?2R(sinB?cosB)?2(sinB?cosB)?22sin(B?)
4?又0?B?，故?B??244???3?4，因而22sin(B?)?(2,22]
4?故4?a?b?c?2?22 2]
即VABC的周长的取值范围为(4,2?29．（1）由
2sinA?3cosA两边平方得2sin2A?3cosA
word.
即(2cosA?1)(cosA?2)?0，解得cosA?12
由a2?c2?b2?mbc得
b2?c2?a22bc?m2 即cosA?m2?12，所以m?1 （2）由（1）知cosA?1，则sinA?322，
又
b2?c2?a2?1，所以bc?b2?c2?a2?2bc?a22bc2，即故SVABC?12bcsinA?13332a2?2?4
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word.
bc?a2，
解三角形中相关的取值范围问题-精选.
