此资料由网络收集而来,如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享,我们负责传递知识。 充分条件与必要条件·典型例题
能力素质
例1 已知p:x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根,q:x1+x2=-5,则p是q的
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A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换.
解 ∵x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根, ∴x1,x2的值分别为1,-6, ∴x1+x2=1-6=-5.
因此选A.
说明:判断命题为假命题可以通过举反例. 例2 p是q的充要条件的是
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A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5 B.p:a>2,b<2,q:a>b
C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形 D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价.
解 对A.p:x>1,q:x<1,所以,p是q的既不充分也不必要条件; 对B.pq但qp,p是q的充分非必要条件; 对C.pq且qp,p是q的必要非充分条件;
对D.p?q且q?p,即p?q,p是q的充要条件.选D.
说明:当a=0时,ax=0有无数个解.
例3 若A是B成立的充分条件,D是C成立的必要条件,C是B成立的充要条件,则D是A成立的
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A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析 通过B、C作为桥梁联系A、D. 解 ∵A是B的充分条件,∴AB① ∵D是C成立的必要条件,∴CD②
此资料由网络收集而来,如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享,我们负责传递知识。 ∵C是B成立的充要条件,∴C?B③
由①③得AC④ 由②④得AD.
∴D是A成立的必要条件.选B.
说明:要注意利用推出符号的传递性.
例4 设命题甲为:0<x<5,命题乙为|x-2|<3,那么甲是乙的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定.
解 解不等式|x-2|<3得-1<x<5.
∵0<x<5-1<x<5,但-1<x<50<x<5 ∴甲是乙的充分不必要条件,选A.
说明:一般情况下,如果条件甲为x∈A,条件乙为x∈B.
当且仅当A?B时,甲为乙的充分条件;当且仅当A?B时,甲为乙的必要条件;
当且仅当A=B时,甲为乙的充要条件. 例5 设A、B、C三个集合,为使A
(B∪C),条件AB是
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析.请同学们自己画图.
∴A
(B∪C).
但是,当B=N,C=R,A=Z时, 显然A
(B∪C),但A
B不成立, 综上所述:“AB”“A(B∪C)”,而
“A(B∪C)”
“A
B”.
即“A
B”是“A(B∪C)”的充分条件(不必要).选A.
说明:画图分析时要画一般形式的图,特殊形式的图会掩盖真实情况.例6 给出下列各组条件:
(1)p:ab=0,q:a2+b2=0;
(2)p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y|; (3)p:m>0,q:方程x2-x-m=0有实根; (4)p:|x-1|>2,q:x<-1.
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此资料由网络收集而来,如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享,我们负责传递知识。 其中p是q的充要条件的有
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A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
分析 使用方程理论和不等式性质. 解 (1)p是q的必要条件 (2)p是q充要条件 (3)p是q的充分条件
(4)p是q的必要条件.选A.
说明:ab=0指其中至少有一个为零,而a2+b2=0指两个都为零.
?x1>3?x1?x2>6例7?是?x>3?2?x1x2>9的条件.
分析 将前后两个不等式组分别作等价变形,观察两者之间的关系.
解 x1>3且x2>3?x1+x2>6且x1x2>9,但当取x1=10,x2=2时,?x1?x2>6?x1>3成立,而?不成立(x2=2与x2>3矛盾),所以填“充分不 ?xx>9x>3?12?2必要”.?x1>3?x1-3>0 说明:? ???x2>3?x2-3>0?(x1-3)+(x2-3)>0???(x-3)(x-3)>02?1
?x1+x2>6这一等价变形方法有时会用得上.?xx-3(x+x)+9>012?12
点击思维
c>d”和“a<b
例8 已知真命题“a≥be≤f”,则“c≤d”是“e≤f”的________条件.
分析 ∵a≥bc>d(原命题), ∴c≤da<b(逆否命题). 而a<be≤f,
∴c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分条件. 答 填写“充分”.
说明:充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法.
例9 ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是
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A.0<a≤1 B.a<1
C.a≤1 D.0<a≤1或a<0
分析 此题若采用普通方法推导较为复杂,可通过选项提供的信息,用排除法
高一数学典型例题分析 充分条件与必要条件
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