宜昌市东湖高中、宜都二中 2024年秋12月联考
高三（理科）数学
（全卷满分：150分
考试用时：120分钟）
、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分） 1、已知集合A = {x x2 —16 <0匕 B ={—5,0,1 }则（
）
D. A匸
C. BJ A
A Ap|B \ B. Ac B ={0,1}
B
2、
已知i是虚数单位 则复数
B. i
4 +3i z = ------- 的虚部是（
3—4i
C. -i
）
A. 0
D. 1
3、 设I , m是两条不同的直线，
A .若 I _ m , m :，则 I _ ： C.若 I// : , m :，则 I// m
a是一个平面，则下列命题正确的是（
：
）
B .若 I // ： - , m// ,则 l// m D .若 I _ ：- , I// m，则 m _ ：
x
4、曲线y
x -2
在点（1, -1）处的切线方程为（ ）
A. y = -2x 3 B. y - -2x 1 C. y = -2x -3 D. y =2x 1
5、已知等差数列 On冲，前10项的和等于前5项的和，若am ■ A.10
B.9
C.8
D.2
0则m二（）
6、已知函数y =2sin（ 'X宀）（■ - 0）为偶函数,0 ：：： v :::二，其图象与直线y =2的某两个交点的横
坐标为X1,X2，若|X2 -为|的最小值为二，则（）
B.
C 3 =
日
1
2
2,
^x<2
7、已知在平面直角坐标系 xOy上的区域D由不等式组* y <2 给定.若M (x, y)为D上的动点,
x<2y
点A的坐标为(2,1)，则z =
的最大值为( C. 1
D. 0
A. -5 B. -1
3 3
8、 下列三个数：a = In ,b = In二-二，c = In 3「3，大小顺序正确的是(
2 2
A. a b c B. a c b
C. b c a D. b a c
)
9、 等比数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，若 S2n
= 8
a1a2a3 ，则 a10 等 于() A . - 512
B . 1024
C . - 1024
= 3? ? a3 - ... - a2n _1)
,
D . 512
10 、若将函数f(x) = sin(2x+ 4) + ,3cos(2x+妨(0v ?v n的图象向左平移
n个单位长度，平移后的图象
关于点 牙，0 /对称，则函数g(x)= cos(x+妨在
-
n，n上的最小值是(
D.
C.
2
11、一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积和体积分别是( A . 24+ 6 2 和 40 C . 64+ 6 2 和 40
B . 24+6 2 和 72 D . 50+6 2 和 72
12. 已知函数y = f(x)是定义域为R的偶函数.
■:
sin( x) (0乞x乞1) 4 2 当x 一0时, 2
f(x) = 4
(x 1)
(；)x 1
有且仅有6个不同实数根，则实数 a的取值范围是(
5
,若关于 x 的方程[f (x)]2 +af (x) + b = 0 ( a,b^ R ),
)
A ? (--,--) B. (--, -1)
2 4 4
C ? (-5,-9)U(-9,-1)
2 4 4
D ? (-5,-1)
2
二、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分)
13、平面向量 a与 b 的夹角为 60° a=(2,0), |b |=1，则 |a+2b |= _______________ .
1
14、已知x, y (0, =)，2xJ3 =( )y，贝y
2
i 4
的最小值为 _______
x y
15、如图所示，二面角 a - I - B为60 ° A、B是棱I上的两点， 分别在半平面 a B内，且 AC丄I, BD丄l, AB = 4 , AC = 6, 则CD的长 ____________________ .
16、如图，正方体 ABCD — A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点 E、F,
EF二辽，现有
2
如下四个结论：①AC丄BE;
② EF//平面ABCD ;
③ 三棱锥A — BEF的体积为定值； ④ 异面直线AE、BF所成的角为定值.
其中正确结论的序号是 _____________ ,
三、解答题（本大题共
6小题，共70 分）
17. （10分）等差数列4」中，-1，公差d=0且a2、a3、36成等比数列，前n项的和为Sn.
(1)求 3n 及 Sn ；
1
(2)设 * 二 --------- ,Tn F
aa
n n 1
b^
bn，求「?
r Q
18（12
-
Q
分）已知 f（x）=Wsin2x cos2x-?.
求函数f(x)的最小正周期及在区间 0,寸 的最大值；
(1)
1
⑵在 ABC中,? A . B、? C所对的边分别是 a b、c,a = 2, f(A) ，求 ABC周长L 2
的最大值.
19. (12 分)已知数列 faj中，a, =1 , an, 也 n N* .
a
n
+3
1 1
(1)证明数列」 '为等比数列，并求 ￡n ｝的通项公式；
戶n ：
2
⑵数列￡n 1满足bn MJ -1导Bn，数列 M的前n项和为「，求证Tn <4.
20 . (12分)如图，四棱锥P-ABCD^，底面ABC［为平行四边形，O为AC的中点，POL平面ABCD M 为 PD的中点，/ ADC= 45°, AD= AC= 1, PO=a (1)证明：DAL平面PAC
⑵如果二面角 MAGD的正切值为2，求a的值.
21. (12分)某工厂去年的某产品的年销售量为 100万只，每只产品的销售价为 10元，每只产品固 定成本为8兀?今年，工厂第一次投入 100万兀，并计划以后每年比上一年多投入 100万元，预计 销售量从今年开始每年比上一年增加
10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为
k
g（n）—..——
pn+ 1
(k>0, k为常数，n� N)，若产品销售价保持不变，第 (1) 求k的值，并求出f(n)的表达式；
n次投入后的年利润为f(n)万元.
(2) 若今年是第1年，则第几年年利润最高？最高利润为多少万元？
22. (12 分)已知函数 f(x) = ax— 1 — In x(a� R).
⑴讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)在x = 1处取得极值，不等式 f(x) > bx — 2对？ x� (0,+s)恒成立，求实数 值范围；
(3)当 x . y . e -1 时，证明不等式：ex In(1 y) . ey In(1 x).
b的取
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高三(理科)数学参考答案
选择题 题号 答案
1 B 2 D 3 D 4 B 5 A 6 A 7 C 8 B 9 D 10 A 11 C 12 C 填空题 14.3
15.2 17
16.①②③
13.2 3 三解答题
2
17、 ( 1) an=2n-3 ; S=n -2n ;
(2)T n=-
；
2n-1
n
18、 f (x) =sin (2x+ — ) -1
6
(1) T=「： ; f (x)的最大值为 0
n
(2) 当A=B=C— 时，L最大值=6
3
19、(1) an=
n
2 -1
(2) Tn=4- (n+2)
丄
(1
20、(1)略；(2) a=2
8
21、( 1) f (n) = (100+10n) (10- --------------- ) -100n
In +1
(2)、第8年工厂的利润最高为 520万元
22、( 1 )当a切 时f ( x)在(0, +8)上是减函数；
1
当a<0时，f (x)在(0，―)上为减函数，在(一，
a
1
(2) bW-丄
e
(3) 略
1 )上增函数;
a
湖北省宜昌市(东湖高中、宜都二中)2024届高三12月联考数学(理)
