1．1.1 变化率问题
填一填 1.函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 设y＝f(x)，x1是数轴上的一个定点，在数轴上另取一点x2，x1与x2的差记为Δx，即Δx＝x2－x1或者x2＝x1＋Δx，Δx就表示从x1到x2的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增
ΔyΔyf?x2?－f?x1?
量记为Δy，即Δy＝f(x2)－f(x1)．它们的比值记为就表示为＝，此比值就称为平ΔxΔxx2－x1
均变化率．
2．实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3．作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
4．几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化Δyf?x2?－f?x1?率＝表示割线P1P2的斜率. Δxx2－x1
判一判 1.在吹气球的过程中，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．(√) 2．Δx，Δy都是正值．(×)
3．函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上的变化越“陡峭”．(√)
4．平均变化率的几何定义是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))所在直线的斜率．(√)
Δyf?x2?－f?x1?f?x1＋Δx?－f?x1?
5．在公式＝＝中，当x1取定值，Δx取不同的数值时，函数的
ΔxΔxx2－x1
平均变化率恒为定值．(×)
Δy
6．函数f(x)＝C(C为常数)在区间[x1，x2]上的平均变化率为0.(√)
Δx
h?t2?－h?t1?
7．高台跳水运动员在高度从h(t1)变化到h(t2)时，他的平均速度为.(√)
t2－t1
8．函数f(x)＝2x2－x在区间[1,3]上的自变量的增量Δx＝2，函数值的改变量为Δy＝14，
Δy
平均变化率＝7.(√)
Δx
想一想 1.函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率为0，能否说明函数y＝f(x)没有发生变化？
不能说明．理由：函数的平均变化率只能粗略地描述函数的变化趋势，增量Δx取值越小，越能准确地体现函数的变化情况．在某些情况下，求出的平均变化率为0，并不一定说明函数没有发生变化．如函数f(x)＝x2在[－1,1]上的平均变化率为0，但f(x)的图象在[－1,0]上单调递
减，在[0,1]上单调递增．
2．函数平均变化率的几何意义和物理意义是什么？
平均变化率的几何意义是表示函数y＝f(x)图象上割线P1P2的斜率(其中P1(x1，f(x1))，P2(x2，
f?x2?－f?x1?f?x1＋Δx?－f?x1?
f(x2))，即kP1P2＝＝；
Δxx2－x1
物理意义是把位移s看成时间t的函数s＝s(t)在时间段[t1，t2]上的平均速度，即v＝s?t2?－s?t1?
. t2－t1
感悟体会
练一练 1.当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A．在[x0，x1]上的平均变化率 B．在x0处的变化率 C．在x1处的变化率 D．以上都不对
解析：由平均变化率的定义知，当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比就是函数在[x0，x1]上的平均变化率，故选A.
答案：A
2．过曲线f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx，2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________.
解析：依题意，Δ y＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2， Δy
∴＝2＋Δx，当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1. Δx
答案：2.1
3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．
Δyf?3?－f?1?1－3
解析：由图象可知，A、B两点间的平均变化率＝＝＝－1.
Δx23－1答案：－1
知识点一 求函数值的改变量 1.在求平均变化率时，自变量的增量Δx应满足( ) A．Δx>0 B．Δx<0 C．Δx＝0 D．Δx≠0
解析：Δx是自变量x2相对于x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负，故选D. 答案：D
2．已知函数f(x)＝x2＋2x，若x的取值从0变化到1，则函数值f(x)的变化情况是( ) A．增加1 B．减少1 C．增加3 D．减少3
解析：f(1)－f(0)＝(12＋2)－0＝3，故选C.
答案：C 知识点二 求函数的平均变化率 3.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________． 4428π
解析：依题意，得Δy＝π×23－π×13＝，
333
28π3Δy28π
所以＝＝.
Δx2－1328π答案：
3
4．(1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为： ①2；②1；③0.01.
(2)思考：当Δx越来越小时，函数f(x)＝x2在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解析：(1)因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2
Δy
所以＝2＋Δx
Δx
Δy
①当Δx＝2时，＝2＋Δx＝4；
ΔxΔy
②当Δx＝1时，＝2＋Δx＝3；
ΔxΔy
③当Δx＝0.01时，＝2＋Δx＝2.01.
Δx
(2)由(1)中的数据知，当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率也逐渐变小，并趋近于2. 知识点三 平均变化率的物理意义 5.质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于( )
9
A．6＋Δt B．12＋Δt＋
Δt
C．12＋2Δt D．12
Δs[2?3＋Δt?＋5]－?2×3＋5?解析：＝＝12＋2Δt，故选C.
ΔtΔt
答案：C
6．在自行车比赛中，某运动员的位移s与比赛时间t之间存在函数关系s(t)＝10t＋5t2(s
Δs
单位：米，t单位：秒)，求t＝20，Δt＝0.1时的Δs与. Δt
2
2
解析：由题意，得Δs＝s(20＋Δt)－s(20) ＝s(20＋0.1)－s(20)
＝(10×20.1＋5×20.12)－(10×20＋5×202)
＝21.05(米) Δs21.05＝＝210.5(米/秒). Δt0.1
综合知识 变化率问题 x7.过曲线f(x)＝图象上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝
1－x
0.5时割线的斜率为( )
12A. B. 33
2024-2024学年数学人教A版选修2-2检测：1.1.1变化率问题
