第4节 数列的综合问题(选用)
考试要求 1.以递推关系为背景，在等差、等比数列交汇的题目中，进行数列的基本运算，求数列的通项公式与前n项和；2.在数列与函数、不等式、解析几何的交汇处，考查数列的综合应用；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.
知 识 梳 理
1.数列与不等式的综合问题大多与数列的前n项和问题相关，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决.
2.数列与解决几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决. 3.数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质.等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注.
基 础 自 测
1.在等差数列{an}中，已知a1，a2，a6成等比数列，数列{an}的前三项和为24，则2 018是数列{an}的( ) A.第336项 C.第504项
解析 由已知条件得a
2
2
B.第337项 D.第505项
＝a1a6，设数列{an}的公差为d，则
???S3＝3a1＋3d＝24，?a1＝2，??a1＝8，?解得?或?又2 018是数列{an}的项，
2
????（a1＋d）＝a1（a1＋5d），?d＝6?d＝0，??a1＝8，则?不符合题意舍去，所以an＝6n－4，令6n－4＝2 018，解得n＝337. ??d＝0
答案 B
2.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(λ－n)－6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是( ) A.(－∞，2) C.(－∞，4)
B.(－∞，3) D.(－∞，5)
解析 由Sn＝3n(λ－n)－6，可得当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1(2λ－2n－1)，则an＋1＝3n(2λ－2n－3)，而数列{an}单调递减，则an>an＋1，且a1>a2，即3n－1(2λ－2n－1)>3n(2λ－2n－3)，且3·(λ－1)－6>31·(2λ－4－1)，解得λ<2＋n，且λ<2，可得λ<2，故选A. 答案 A
3.如果函数f(x)＝kx－1(k≠0，x∈N*)，Sn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，若f(1)，f(3)，f(13)成等比数列，则( ) A.2Sn－7≤5f(n) C.2Sn－7≥5f(n)
B.2Sn＋7≤5f(n) D.2Sn＋7≥5f(n)
解析 由题意得，(3k－1)2＝(k－1)(13k－1)?k＝2(k＝0舍去)，∴f(x)＝2x－1，[f（1）＋f（n）]·n2
2
Sn＝＝n，∴2Sn－5f(n)＋7＝2n－10n＋12＝2(n－2)(n－3)≥02在n∈N*时恒成立，∴2Sn＋7≥5f(n). 答案 D
d4.(2024·绍兴模拟)若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，关于x的不等式2x2＋d??
?a1－2?x＋c≥0的解集为[0，10]，则c＝________，使数列{an}的前n项和Sn最??大的正整数n的值是________.
d?d2?解析 由函数与方程思想可知，不等式对应的方程2x＋?a1－2?x＋c＝0的解为0，
??
da1－2n（n－1）9
10，且d<0，所以c＝0，且－d＝10，解得a1＝－2d，所以Sn＝na1＋
2
2
dd
d＝2(n2－10n)＝2[(n－5)2－25].因为d<0，所以当n＝5时，Sn取到最大值. 答案 0 5
5.(2024·上海徐汇区一模)若公差为d的等差数列{an}(n∈N*)满足a3·a4＋1＝0，则公差d的取值范围是________.
2解析 由a3·a4＋1＝0得(a1＋2d)(a1＋3d)＋1＝0?a1＋5da1＋6d2＋1＝0，所以Δ
＝25d2－4(6d2＋1)≥0?d≥2或d≤－2. 答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)
（－1）n＋16.若不等式(－1)·a<3＋对任意的正整数n恒成立，则实数a的取值范
n＋1
n
围是________.
1??183－?解析 n为偶数时，a<3－，只需a
1
1??
3＋?时，－a<3＋只需－a
1
8??
值范围是?－3，3?.
??
8??－3，答案 ? 3???
考点一 等差、等比数列的综合问题
【例1】 设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列.已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6. (1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*)， ①求Tn；
（Tk＋bk＋2）bk2n＋2*
②证明∑ ＝－2(n∈N). k＝1（k＋1）（k＋2）n＋2
n
(1)解 设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由a1＝1，a3＝a2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q>0，可得q＝2，故an＝2n－1.
【2024创新设计一轮复习数学】第七章 第4节 数列的综合问题
