§6.3 等比数列及其前n项和
考情考向分析
以考查等比数列的通项、前n项和及性质
为主，等比数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查．
1
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为
an＋1*
＝q(n∈N，q为非零常数)． an(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G＝ab. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1q(2)前n项和公式：
n－1
2
.
na1?q＝1?，??
Sn＝?a1?1－qn?a1－anq＝?q≠1??1－q?1－q
.
2
3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N)．
*
2
*
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N)，则am·an＝ap·aq＝ak. ?1??an?2
(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，??，{an}，{an·bn}，??(λ≠0)
?an?
?bn?
仍然是等比数列．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为q.
k概念方法微思考
1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？
提示 仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数． 2．任意两个实数都有等比中项吗？
3
提示 不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项． 3．“b＝ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？
提示 必要不充分条件．因为b＝ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a＝0，b＝0，c＝1.但a，b，c成等比数列一定有b＝ac.
2
2
2
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N，q为常数)的数列{an}为等比数列．( × )
(2)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( × ) (3)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．( × )
*
a?1－an?
(4)数列{an}的通项公式是an＝a，则其前n项和为Sn＝.( × )
1－an(5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( × ) 题组二 教材改编
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2．[P54T3]已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝______.
41答案 2
a5113
解析 由题意知q＝＝，∴q＝.
a282
3．[P54T9]公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为________． 答案 10
解析 由题意得2a5a6＝18，∴a5a6＝9， 又a1am＝9，∴a1am＝a5a6，∴m＝10.
4
题组三 易错自纠
4．若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则1
答案 －
2
解析 ∵1，a1，a2，4成等差数列， ∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.
又∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q， 则b2＝1×4＝4，且b2＝1×q>0，∴b2＝2， ∴
2
2
a1－a2
的值为________． b2
a1－a2－?a2－a1?1
＝＝－. b2b22
S5
S2
5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________. 答案 －11
解析 设等比数列{an}的公比为q， ∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q＝0. ∴q＋8＝0，∴q＝－2，
3
4
S5a1?1－q5?1－q∴＝· S21－qa1?1－q2?
1－q1－?－2?＝＝－11. 2＝1－q1－4
6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8GB.(1GB＝2MB) 答案 39
解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2，
则2＝8×2＝2，∴n＝13. 即病毒共复制了13次． ∴所需时间为13×3＝39(秒)．
n10
13
10
5
5
n 5
(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和教案(含解析)
