1．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2
B．e C.ln22
D．ln2 解析：选B.因为f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋1， 所以f′(x0)＝lnx0＋1＝2， 所以lnx0＝1，即x0＝e.
2．若曲线y＝x2－1与y＝1－x3
在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为( A.213 B. 3
6
C．－1 D．－2或0
3
36
解析：选B.曲线y＝x2
－1在x＝x0处的切线的斜率为k1＝y′|x＝x0＝2x0，曲线y＝1－x3在x＝x处的切线的斜率为k2
02＝y′|x＝x0＝－3x0.
由题意，得k23
1·k2＝－1，即2x0(－3x0)＝－6x0＝－1，
解得x1
0＝ .
363．设y＝x2·ex，则y′＝( )
A．x2ex＋2x B．2xex
C．(2x＋x2)ex D．(x＋x2)ex
解析：选C.y′＝(x2·ex)′＝(x2)′ex＋(ex)′x2
＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.
4．已知f(x)＝f′1
x＋4x，则f′(2)＝________.
解析：∵f(x)＝f′1
x＋4x， ∴f′(x)＝－
f′1
x2
＋4， ∴f′(1)＝－f′(1)＋4，∴f′(1)＝2，
∴f′(x)＝－2
x2＋4，
∴f′(2)＝－12＋4＝31
2.
答案：31
2
一、选择题
1．(2011年吉林检测)函数y＝x2
cosx的导数为( )
A．y′＝2xcosx－x2sinx B．y′＝2xcosx＋x2
sinx
C．y′＝x2cosx－2xsinx D．y′＝xcosx－x2
sinx
解析：选A.y′＝(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2
(cosx)′
＝2xcosx－x2
sinx.
2．(2011年日照检测)已知函数f(x)＝xex，则f′(2)等于( )
)
A．3e B．2e
2
C．e D．2ln2
xxxxx解析：选A.f′(x)＝(xe)′＝x′e＋x(e)′＝e＋xe，
2
∴f′(2)＝3e.
xe
3．若函数f(x)＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于( )
22
xA．0 1C. 2
xB．1 D．不存在
eex0
解析：选C.由于f(x)＝，∴f(x0)＝，
xxx0
e·x－ee
又f′(x)＝＝2
xxxx－1
， x2
ex0
∴f′(x0)＝ex0ex0
所以＋
x0－1
，依题意知f(x0)＋f′(x0)＝0，
x20x0－1
＝0，
x20
x0
1
∴2x0－1＝0，得x0＝，故选C.
2
42
4．(2010年高考江西卷)若函数f(x)＝ax＋bx＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )
A．－1 B．－2 C．2 D．0
423
解析：选B.由f(x)＝ax＋bx＋c得f′(x)＝4ax＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.故选B.
5．(2010年高考课标全国卷)曲线y＝
xx＋2
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
x′x＋2－xx＋2′
解析：选A.∵y′＝＝
x＋22
2－1＋2
2在点(－1，－1)处的切线方程为( )
2x＋2
2
，∴切线斜率k＝
＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
sinθ33cosθ2?5π?6．设函数f(x)＝x＋x＋tanθ，其中θ∈?0，?，则导数f′(1)的
12?32?
取值范围是( )
A．[－2,2] B．[2，3] C．[3，2] D．[2，2]
2
解析：选D.由已知f′(x)＝sinθ·x＋3cosθ·x，
π??∴f′(1)＝sinθ＋3cosθ＝2sin?θ＋?. 3??
π?ππ3π2?5π??又θ∈?0，?，∴≤θ＋≤，∴≤sin?θ＋?≤1，∴2≤f′(1)≤2.
12?3?3342??
二、填空题
32
7．(2011年高考重庆卷改编)曲线y＝－x＋3x在点(1，2)处的切线方程为________．
232
解析：∵y′＝－3x＋6x，∴y′|x＝1＝3.∴曲线y＝－x＋3x在点(1，2)处的切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.
答案：y＝3x－1
2
8．函数y＝3xsinx－xcosx的导数是________．
解析：y′＝(3xsinx－xcosx)′＝(3xsinx)′－(xcosx)′＝(3sinx＋3xcosx)－
22
(2xcosx－xsinx)＝(3＋x)sinx＋xcosx.
2
答案：(3＋x)sinx＋xcosx
2
9．点P是曲线y＝x－ln x上任一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________． 解析：曲线上与直线y＝x－2距离最小的点，必定是平行于该直线的切线的切点．设曲
1
线上一点的横坐标是x0(x0＞0)，则经过该点的切线的斜率为k＝y′(x0)＝2x0－，∴2x0－
22
x0
1
＝1，∴x0＝1或x0＝－， x02
又x0＞0，∴x0＝1，此时y0＝1.
|1－1－2|
∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为＝2.
2答案：2 三、解答题
sinx10．已知y＝，x∈(－π，π)，求当y′＝2时的x的值．
1＋cosxsinx解：由于y＝，所以
1＋cosxcosx1＋cosx－sinx·－sinxy′＝ 2
1＋cosxcosx＋11＝， 2＝
1＋cosx1＋cosx11令＝2，得cosx＝－， 1＋cosx2
2
又因为x∈(－π，π)，所以x＝±π.
3
3
11．设函数f(x)＝ax＋bx＋c(a>0)为奇函数，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值是－12，求a，b，c的值．
解：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
33
即－ax－bx＋c＝－ax－bx－c， ∴c＝0.
2
∵f′(x)＝3ax＋b的最小值为－12且a>0，∴b＝－12.
1
又直线x－6y－7＝0的斜率为. 6
∴f′(1)＝3a＋b＝－6，∴a＝2. 综上可知，a＝2，b＝－12，c＝0.
32
12．已知函数f(x)＝2x＋ax与g(x)＝bx＋c的图像都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)、g(x)的表达式．
32
解：∵f(x)＝2x＋ax与g(x)＝bx＋c的图像过点P(2,0)，
??2×2＋a·2＝0，∴?2
??b·2＋c＝0，
33
1
??a＝－8，
∴???4b＋c＝0.
∴f(x)＝2x－8x.
2
∵f′(x)＝6x－8，g′(x)＝2bx，
2
∴f′(2)＝6×2－8＝16，g′(2)＝2b·2＝4b， ∵f(x)、g(x)在点P处有公共切线， ∴f′(2)＝g′(2)，即16＝4b，∴b＝4.
2
∴c＝－4b＝－4×4＝－16.∴g(x)＝4x－16.
3
∴f(x)、g(x)的表达式分别为f(x)＝2x－8x、 g(x)＝4x2－16.
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