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2.5 圆锥曲线的统一定义
[学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．
知识点一 圆锥曲线的统一定义
平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹． 0
e＝1时，它表示抛物线．
知识点二 准线方程
x2y2x2y2
对于椭圆2＋2＝1 (a>b>0)和双曲线2－2＝1(a>0，b>0)中，与F(c,0)对应的准线方程是l：
ababa2a2
x＝，与F′(－c，0)对应的准线方程是l′：x＝－；如果焦点在y轴上，则两条准线方
cca2
程为y＝±. c思考
1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？ 1答案 .
e2．动点M到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？
答案 当F?l时，动点M轨迹是圆锥曲线．当F∈l时，动点M轨迹是过F且与l垂直的直线．
题型一 统一定义的简单应用
例1 椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，那么，P到右焦点的距离为
259________． 答案 8
x2y2
c4
解析 如图所示，PF1＋PF2＝2a＝10，e＝＝，
a5PF14
而＝e＝，∴PF1＝2， 2.55
∴PF2＝10－PF1＝10－2＝8.
反思与感悟 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用． 一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．
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x2y2
跟踪训练1 已知椭圆2＋2＝1上一点P到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P到左准线的距
4bb离．
x2y23
解 方法一 由2＋2＝1，得a＝2b，c＝3b，e＝.
4bb2
由椭圆第一定义，
PF1＋PF2＝2a＝4b，得PF1＝4b－PF2＝4b－b＝3b.
由椭圆第二定义，∴d1＝
PF1
＝e，d1为P到左准线的距离， d1
PF1
＝23b，即P到左准线的距离为23b. ePF2
＝e，d2为P到右准线的距离． d2
方法二 ∵
c3PF223e＝＝，∴d2＝＝b. a2e3
a283又椭圆的两准线的距离为2·＝b，
c3
8323
∴P到左准线的距离为b－b＝23b.
33题型二 应用统一定义转化求最值
例2 已知椭圆＋＝1内有一点P(1，－1)，F是椭圆的右焦点，在
86椭圆上求一点M，使MP＋2MF之值为最小． 解 设d为M到右准线的距离．
x2y2
c1MF1∵e＝＝，＝，
a2d2
∴＝d，即d＝2MF(如图)． 12故MP＋2MF＝MP＋d≥PM′.
2
显然，当P、M、M′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M的坐标为(15，－1)．
3反思与感悟 本例中，利用统一定义，将椭圆上点M到焦点F的距离转化为到准线的距离，再利用图形，形象直观，使问题得到简捷的解决．
跟踪训练2 已知双曲线－＝1的右焦点为F，点A(9,2)，试在双曲
9163
线上求一点M，使MA＋MF的值最小，并求这个最小值．
5
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MFx2y2
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解 过M作MN垂直于双曲线的右准线l于N，由第二定义可知MN＝(如图)． 5
又a＝3，b＝4，c＝5，e＝，
3
33
∴MN＝MF，∴MA＋MF＝MA＋MN，显然当M、N、A三点共线时MA＋MN＝AN为最小，即MA＋
553a936MF取得最小值，此时AN＝9－＝9－＝， 5c5533635∴MA＋MF的最小值为，此时点M(，2)．
552题型三 圆锥曲线统一定义的综合应用
2
MFex2y28
例3 已知A、B是椭圆2＋＝1上的点，F2是右焦点，且AF2＋BF2＝a，AB的中点N到
a925
a25
3
左准线的距离等于，求此椭圆方程．
2
解 设F1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF1＋BF1＝2a－AF2＋2a－BF2＝4a－(AF2＋BF2)＝4a812－a＝a. 55
再设A、B、N三点到左准线距离分别为d1，d2，d3，由梯形中位线定理有d1＋d2＝2d3＝3，922
而已知b＝a，
25
16242
∴c＝a，∴离心率e＝，
255由统一定义AF1＝ed1，BF1＝ed2， 12∴AF1＋BF1＝e(d1＋d2)＝，
512
又AF1＋BF1＝a，∴a＝1，
5∴椭圆方程为x＋＝1.
925
反思与感悟 在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．
2
y2
x2y2
跟踪训练3 设P(x0，y0)是椭圆2＋2＝1(a>b>0)上任意一点，F1为其左焦点．
ab(1)求PF1的最小值和最大值；
(2)在椭圆＋＝1上求一点P，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直．
255
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x2y2
2020版高中数学第2章圆锥曲线与方程2_5圆锥曲线的统一定义学案苏教版选修2_1
