2012年中考第二轮专题复习八：与二次函数有关的动点问题
1.（2011甘肃省兰州市）如图所示，在平面直角坐标系X0Y中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y?ax2?bx?c经过点A、B和D（4，?2）. 3（1）求抛物线的表达式.
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动， 设S=PQ2(cm).
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； ②当S取
25时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点 4的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在， 请说明理由.
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大， 求出点M的坐标.
考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质。 专题：计算题。
2
分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax+bx+c，求出A、B、D的坐标代入即可；（2）①由勾股定理即可求出，②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，求出P、Q的坐标，再分为三种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标．（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，求出直线BD的解析式，把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．
2
解答：（1）解：设抛物线的解析式是y=ax+bx+c， 当x=0时，y=﹣2，
∴点A的坐标是（0，﹣2）， ∵正方形的边长2，
∴B的坐标（2，﹣2），把A（0，﹣2），B（2，﹣2），D（4，﹣）代入得：
且，
解得a=，b=﹣，c=﹣2
∴抛物线的解析式为：，
答：抛物线的解析式为：． （2）解：①由图象知：PB=2﹣2t，BQ=t，
222
∴S=PQ=PB+BQ，
22
=（2﹣2t）+t，
2
即S=5t﹣8t+4（0≤t≤1）．
2
答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t﹣8t+4，t的取值范围是0≤t≤1． ②解：假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
2
∵S=5t﹣8t+4（0≤t≤1），
∴当S=时，5t﹣8t+4=，得20t﹣32t+11=0，
22
解得t=，t=（不合题意，舍去），
此时点P的坐标为（1，﹣2），Q点的坐标为（2，﹣） 若R点存在，分情况讨论：
【A】假设R在BQ的右边，这时QR=PB，RQ∥PB，则R的横坐标为3，R的纵坐标为﹣
，
即R（3，﹣），
代入，左右两边相等，
∴这时存在R（3，﹣）满足题意；
【B】假设R在BQ的左边，这时PR=QB，PR∥QB，
则：R的横坐标为1，纵坐标为﹣，
即（1，﹣），
代入，左右两边不相等，R不在抛物线上；
【C】假设R在PB的下方，这时PR=QB，PR∥QB，则：R（1，﹣）代入，左右不相等，
∴R不在抛物线上．（1分）
综上所述，存点一点R（3，﹣）满足题意．
答：存在，R点的坐标是（3，﹣）． （3）解：如图，M′B=M′A，
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，
设直线BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐标代入得：，
解得：k=，b=﹣，
∴y=x﹣，
抛物线的对称轴是x=1，
把x=1代入得：y=﹣
∴M的坐标为（1，﹣）；
答：M的坐标为（1，﹣）．
点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，勾股定理，平行四边形的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解此题的关键是综合运用这些知识进行计算．此题综合性强，是一道难度较大的题目．
2.（2011广东省清远市）如图，抛物线y＝(x＋1)2＋k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于
点C (0，－3)．
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA＋PC的值最小，求此时点P的坐标； （3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限．
① 当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积 及此时点M的坐标；
② 当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB 的最大面积及此时点M的坐标．
【答案】（1）抛物线的对称轴为直线x＝－1，
A O B x C y 把C (0，－3)代入y＝(x＋1)2＋k得 －3＝1＋k ∴k＝－4 （2）连结AC，交对称轴于点P
∵y＝(x＋1)2－4 令y＝0 可得(x＋1)2－4＝0
∴x1＝1 x2＝－3 ∴A (－3，0) B (1，0)
设直线AC的关系式为：y＝m x＋b
把A (－3，0)，C (0，－3)代入y＝m x＋b得， －3m＋b＝0 b＝－3 ∴m＝－1 ∴线AC的关系式为y＝－x－3 当x＝－1时，y＝1－3＝－2 ∴P (－1，－2)
② 当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．
（3）① 设M的坐标为（x, (x＋1)2－4）
11
∴S△AMB＝×AB×｜ym｜＝×4×[4－(x＋1)2]
22
＝8－2(x＋1)2
当x＝－1时，S最大，最大值为S＝8 M的坐标为(－1，－4)
② 过M作x轴的垂线交于点E，连接OM， S
四边形
y A P O B x C y A M O B x C 111＝S＋S＋S＝×AB×|y|＋×CO×|x|＋×OC△△△AMCBAMOCMOCBOmm
222
×BO
311
＝6－ (x＋1)2＋×3×(－x)＋×3×1
222
3933381＝－x2－ x＋6＝－（x2＋3x－9）＝－（x＋）2－ 222228381当x＝－ 时，S最大，最大值为
28
3.（2011河北省）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1
个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）. y ⑴求c、b（用含t的代数式表示）；
A D ⑵当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N.
O 1 ① 在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？
－1 若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；
② 求△MPN的面积S与t的函数关系式，
N M B C P x 并求t为何值时，S=
21； 8（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数
的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分， 请直接写出t的取值范围. ．．
考点：二次函数综合题。
2
分析：（1）由抛物线y=x+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；
（2）①当x=1时，y=1﹣t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数， ②由S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S方程即可求得t的值；
（3）根据图形，即可直接求得答案．
2
梯形NDAM
﹣S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列
解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x+bx+c，得c=0，
22
再把x=t，y=0代入y=x+bx，得t+bt=0，∵t＞0，∴b=﹣t； （2）①不变．
如图6，当x=1时，y=1﹣t，故M（1，1﹣t），∵tan∠AMP=1，∴∠AMP=45°；
②S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM=（t﹣4）（4t﹣16）+[（4t
2
﹣16）+（t﹣1）]×3﹣（t﹣1）（t﹣1）=t﹣t+6．
解t﹣
2
t+6=，得：t1=，t2=，∵4＜t＜5，∴t1=舍去，∴t=．
（3）＜t＜．
点评：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合
4x+8与x轴32交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax+bx+c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B(x0,0)，其中x0＞0，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．
4.（2011湖北省施恩自治州）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=A与点C的距离之和最小； （1）求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P0，使P0到点
（2）若△PAC周长的最小值为10+241，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（3）如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动(M不与端点C、O重合)，过点M作MH∥CB交x轴于点H,设M移动的时间为t秒，试
S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值； 把△P0HM的面积（4）在（3）的条件下，当S=75时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：32过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C？请证明你的结论．（备用图图3）
y 4y=x+83y4y=x+83y4y=x+83CCMCA0PBxA0PBxA0PBx
考点：二次函数综合题。 分析：（1）由题意A、B点关于抛物线对称，则BC所在直线与对称轴的交点即为P0； （2）由（1）所求可知该题周长最小即为 AC+BC的长，从而求出x0，而解得；
（3）由在三角形OBC∽三角形CMN，得到高关于t的式子，因为MH∥BC，得到三角形MHP0三角形底边关于t的表达式，根据t的取值范围，从而求得S的最大值．
（4）把S的取值代入（3）中表达式中求得t，从而得到点M的坐标，从而证明各点． 解答：解：（1）由题意直线AC与x轴的交点为A， 所以当y=0，则x=﹣6， 所以点A（﹣6，0）． 同理点C（0，8），
2
由题意，A、B是抛物线y=ax+bx+8与x轴的交点，
2
∴﹣6，x0是一元二次方程ax+bx+8=0的两个根，
∴﹣6+x0=﹣，﹣6x0=，
∴a=﹣，b=﹣+．
∵A、B点关于抛物线对称，∴BC所在直线与对称轴的交点即为P0． 设直线BC的解析式为y=mx+n，则n=8，mx0+n=0，
∴m=﹣，n=8．
∴BC的解析式为y=﹣x+8．
∴当x=﹣=时，y=+4，
∴P0的坐标为（
，+4）；
，
（2）由（1）可知三角形PAC最小即为AC+BC=10
+=10
解得x0=10或x0=﹣10（不符舍去）， 则点B（10，0），
，
由点A，B，C三点的二次函数式为y==﹣（x﹣2）+
2
．
顶点N（2，
）；
（3）如图，作MN⊥BC与N，
则在三角形OBC∽三角形CMN，
所以，
即h=．
因为MH∥BC，
所以，
解得MH==，
S==，
因为每秒移动2个单位，
则当t=2时符合范围0＜t＜4， 所以当t为2时S最大；
（4）把S的取值代入（3）中表达式中求得t， 从而得到点M的坐标，
，即
则解得t=2，
则由题意知CEF三点所在圆半径为4， 所以直线CN与CFE所在圆相切．
点评：本题考查了二次函数的综合应用，知道三点求二次函数式，考查一次函数与二次函数的结合求三角形面积，知道面积求点，很好结合，是道好题．
5.（2011湖北省仙桃、潜江、天门、汉江油田）在平面直角坐标系中，抛物线y?ax2?bx?3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H. （1）直接填写：a= ，b= ，顶点C的坐标为 ； （2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求
出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，
（备用图） 当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标. y C y C A H O B x
A H O B x
5.解：（1）a??1,b??2，顶点C的坐标为（-1，4）………………………… 3分
（2）假设在y轴上存在满足条件的点D, 过点C作CE⊥y轴于点E. y 由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°. 又∠2+∠3=90°， C E ∴∠3=∠1. 又∵∠CED=∠DOA =90°，
CEDO. ?EDAO1c设D（0，c），则?.
4?c3变形得c2?4c?3?0，解之得c1?3,c2?1.
∴△CED ∽△DOA，∴
1 2 A 3 H O B x 综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1）， 使△ACD是以AC为斜边的直角三角形. …………………………………7分
（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH. 延长CP交x轴于M，∴AM=CM， ∴AM2=CM2. 设M（m，0），则( m+3)2=42+(m+1)2，∴m=2，即M（2，0）. 设直线CM的解析式为y=k1x+b1， ??k1?b1?448则?， 解之得k1??，b1?.
33?2k1?b1?0∴直线CM的解析式y??48x?.…………………………………………… 8分 3348?1??x??1120?y??x?x??33联立?，解之得?3或?(舍去).∴P(，).…… 9分
?39y?4??y??x2?2x?3?y?20???9 ②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH.
过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N.
CACH??2， AFAHFNNAAF1由△FNA∽△AHC得???.
AHHCCA2 ∴AN?2，FN?1, 点F坐标为（-5,1）. …………………………………10分
??k2?b2?4319设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则?，解之得k2?,b2?.
44??5k2?b2?1 由△CFA∽△CAH得
319x?. ……………………………………………11分 447?319?x????x??1755?y?x??444联立 ?，解之得? 或 ?(舍去). ∴P(?，).
416?y??x2?2x?3?y?4?y?55??16?120755∴满足条件的点P坐标为(，)或(?，) ………………………………12分
39416y y
∴直线CF的解析式y?
A H C C Q P P F Q O B M x N A H O B x （图①）
（图②）
6.（2011浙江省宁波市）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2,2），点B的坐标为（6，6）,抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E， （1）求点E的坐标
（2）求抛物线的函数解析式
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求⊿BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标
（4）连结AN，当⊿BON面积最大时，在坐标平面内求使得⊿BOP与⊿OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标。
6．解：(1) 设y?mx?n 将点A(?2,2),B(6,6)代入得?∴y???2m?n?21 得m?,n?3
2?6m?n?61x?3 当x?0时，y?3． ∴E(0,3) 3分 22（2）设抛物线的函数解析式为y?ax?bx，
?4a?2b?211 将A(?2,2),B(6,6)代入得? 解得a?,b??
42?36a?6b?6121∴抛物线的解析式为y?x?x． 6分
42（3）过点N作x轴的垂线NG，垂足为G，交OB于点Q，过B作BH⊥x轴于H，
121设N(x,x?x)，则Q(x,x)
4211则S?BON?S?QON?S?BQN??QN?OG??QN?GH
22111??121?? ??QN?(OG?GH)??QN?OH??x??x?x???6
222??42??3293272 ??x?x??(x?3)? (0?x?6) 7分
4244 ∴当x?3时，△BON 面积最大，最大值为
27， 8分 4此时点N的坐标为(3,)． 9分 （4）解：过点A作AS⊥GQ于S
∵A(?2,2),B(6,6),N(3,) ∴∠AOE=∠OAS=∠BOH= 45°, OG=3，NG=NS=
34343，45，AS=5 4在Rt△SAN和Rt△NOG中 ∴tan∠SAN=tan∠NOG=
1 ∴∠SAN=∠ NOG 4∴∠OAS -∠SAN=∠BOG -∠NOG ∴∠OAN=∠BON 10分 ∴ON的延长线上存在一点P，使△BOP∽△OAN ∵A(?2,2),N(3,) 在Rt△ASN中， AN=当△BOP∽△OAN时
34AS2?SN2?517 4OBOP151762OP? 得OP= ?OAAN4225174PTNG1?? OTOG4151515172设P(4t,t) ∴(4t)2?t2?() t1?,t2??（舍）
44415∴点P的坐标为(15,) 11分
415将△OPT沿直线OB翻折，可得出另一个满足条件的点P'(,15)
41515由以上推理可知，当点P的坐标为(15,)或(,15)时，△BOP与△OAN相似． 12分
44
过点P作PT⊥x轴于点T ∴△OPT∽△ONG ∴
P' y M B E A O F Q Ｓ N G H(第26题) P Ｔ x
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专题八与二次函数有关的动点问题（含答案）
