广义胡克定律 强度理论
[知识回顾]
1、 轴向拉（压）变形
在轴向拉（压）杆件内围绕某点截取单元体，单向应力状态（我们分析过）
?y
2）纯剪切
?x?E?x横向变形
????x????xE??G?
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胡克定律反映的是应力与应变间的关系，对复杂应力状态，其应力与应变间的关系由广义胡克定律确定。
[新课教学]
广义胡克定律 强度理论
一、广义胡克定律（Generalized Hooke Law）
1、主应力单元体－叠加法
只在?1作用下：1方向 ?1???1
E只在??22作用下：1方向 ? 1?? ? ? ? 1方向由?1、?2、?3共同作用引起的应变 E 只在?3作用下：1方向
?1???????3???1??? E??1??1??? 即 ?11?E??1????2??3?? 同理： ?12? E??2????3??1?? ?13? E??3????1??2??
2、非主应力单元体
可以证明：对于各向同性材料，在小变形及线弹性范围内，
线应变只与正应力有关，而与剪应力无关； 剪应变只与剪应力有关，而与正应力无关， 满足应用叠加原理的条件。
?1??? x?E?x??(?y??z)? ? 1xy ? ? ?Gxy???1??? ?E???yy??(z??x)?? ?1?yz?G?yz??1??? z??z??(?x??y?1??zx?E)?? G?zx??
3、体积应变
单元体，边长分别为dx、dy和dz。在三个互相垂直的面上有主应力?1、?2和?3。变形前单元体的体积为 V?dxdydz.
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小变形，线弹性范围内，符合叠加原理
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变形后，三个棱边的长度变为
由于是单元体，变形后三个棱边仍互
dx??1dx?(1??1)dxdy??2dy?(1??2)dydz??3dz?(1??3)dz相垂直，所以，变形后的体积为
V1?(1??1)(1??2)(1??3)dxdydz
将上式展开，略去含二阶以上微量的各项，得
V1?(1??1??2??3)dxdydz 于是，单元体单位体积的改变为
??V1?VV??1??2??3 ?称为体积应变（或体应变）。它描述了构件内一点的体积变化程度。 5、体积应变与应力的关系
将广义虎克定律（8-22）代入上式，得到以应力表示的体积应变 ? ?? 3 ( 1 ? 2 ? ) ? ? 1 ? ? 2 ? ?31?2? E3??mK???1??2??3?E(?1??2??3)式中
K?E3(1?2?)?1
m?3(?1??2??3)K称为体积弹性模量，?m是三个主应力的平均值。体积应变?只与平均应力?m有
关，或者说只与三个主应力之和有关，而与三个主应力之间的比值无关。 体积应变?与平均应力?m成正比，称为体积虎克定律。
二、应变能密度（Strain Energy Density）
1、单向应力状态：
.
?1?2??2???2E
2、复杂应力状态：
?111??2?1?1?2?2?2?2?3?3
?1??2E??2??2212??3?2?(?1?2??2?3??3?1)?
因形状和体积都变化，所以变形比能可看成由二部分构成： 1） 形状改变能密度（畸变能密度） ?1??d????21??2????22??3????26E1??3??
2） 体积改变能密度 ?1?2?v?(?2例1： 6E1??2??3)已知：
一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用，过K点沿轴向及与轴向成45°方向测线 应变，轴向应变 ? ?6?60 ? 500 ? 10 ， 45°方向的应变为 ? u ? 400 ，?10 若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200Gpa,泊松比?=0.3。 求：F和m的值。
解：1、内力分析
2、K点处的应力状态分析
?FNFx?A?A?y?0?z?0
?xy?TmmW??tWt?3.
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3、计算外力F和外力偶m ?1x?E??????x??y??z??x E??0?500?10?6
F???6x?A?E?0?A?200?109?500?10?6???785KN 4?(100)2?10 ?xx0v?? 2??2cos2(45)??xysin2(450)??x2??xy ???x?x?x u2?2cos2(?450)??xysin2(?450)?2??xy ?3
?xy?34.6?106N/m2m??xy?16D?6.79KN?m
三、强度理论(Strength theory)（板书+ppt）
1、基本变形下的强度条件：（板书） 1）拉压
?FNmaxmax?A?[?] 正应力强度条件 2）弯曲 ?max?Mmax?[?]?Wmax?[?]
?FS*szmax?3）扭转 bI?[?] z 剪应力强度条件
?Tmax?W?[?]?]tmax?[?
[?]??un?u 破坏正应力
通过试验测定
[?]??u
n?u破坏剪应力
基本变形下危险点所处的应力状态：
.
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2、复杂应力状态的强度条件：
复杂应力状态下要由实验测出失效应力，很难实现，为解决这类问题，常常是据简单 的实验结果，经推理，提出一些假说，推测失效的原因，从而建立强度条件。 人们在长期的生产活动中，综合分析材料的失效现象，对强度失效提出了各种不同的 假说。各种假说尽管各有差异，但它们都认为：
材料之所以按某种方式失效（屈服或断裂），是由于应力、应变和比能等诸因素中的某一 因素引起的。按照这类假说，无论单向或复杂应力状态，造成失效原因是相同的，即引起 失效的因素是相同的。通常这类假说称为强度理论。
材料失效的形式（板书）：构件由于强度不足将引发两种失效形式 1）脆性断裂：
材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的 截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。 2）塑性屈服（流动）：
材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上， 例如低碳钢拉、扭，铸铁压。
3、强度理论：
1）最大拉应力理论（第一强度理论） (Maximum Stress Theory)
无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应力达到了 一个共同的极限值，材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值。 ? 1??b
? 1 构件危险点的最大拉应力
? b 极限拉应力，由单向拉伸实验测得
断裂条件：
?1??b强度条件： ?1??b n????b
2）最大伸长拉应变理论（第二强度理论） (Maximum Strain Theory)
无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形） 达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。
??max??1??umax.
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构件危险点的最大伸长线应变
?1?[?1??(?2??3)]/E ? u 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得
?u??b/E断裂条件：
1[??b E1??(?2??3)]?E ?1??(?2??3)??b
强度条件：
??(??b1?2??3)?n?[?]b
实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，
如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。
3）最大切应力理论（第三强度理论） (Maximum Shear Stress Theory)
这一理论是由库仑（C.A. Coullmb）在1773年提出的。
无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。
?max??u?max构件危险点的最大切应力
?
max?(?1??3)/2 ? u 极限切应力，由单向拉伸实验测得 ?
u??s/2屈服条件： ?1??3??s
强度条件：
?1??3??s n????s
4）畸变能密度理论（第四强度理论） (Deformation Energy Density Theory)
无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的形状改变比能(即畸变能） 达到一个极限值。
?d??du?d构件危险点的形状改变比能
?1??d?(?1??2)2?(?2.
6E?2??3)2?(?3??1)?精品文档
? du 形状改变比能的极限值，由单拉实验测得
?du?1??6E2?2s屈服条件：(?22221??2)?(?2??3)?(?3??1)?2?s
强度条件：12?(?2(?2?1??2)?2??3)?(?3??1)2??sn???? s实验表明：
对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。
根据几种材料（钢、铜、铝）的薄管试验资料，表明形状改变比能理论比第三强度理 论更符合实验结果。在纯剪切下，按第三强度理论和第四强度理论的计算结果差别最大，这时，由第三强度理论的屈服条件得出的结果比第四强度理论的计算结果大15%。
自1638年伽利略提出第一个强度理论至今已有近400年的历史。虽然强度理论研究的命题明了简单，但问题却十分广泛和复杂，几乎每个强度理论的发展和完善都经过几十年至上百年的时间。
4、强度理论的统一表达式：
相当应力
?r?[?]
?r1??1 ? r2??1??(?2??3)
?r3??1??3
?r4?12?(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?
.
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5、复杂应力状态下，强度计算的步骤
1）找危险截面，定危险点，过危险点取单元体，计算主应力?1、?2、?3； 2）选用适当的强度理论，确定相当应力?r； 3）确定 ?????b或?s
nbns4）?r与许用应力比较。
6、强度理论的选择
1）选用强度理论时要注意：破坏原因与破坏形式的一致性，理论计算与试验结果要接近，一般
第一、第二强度理论，适用于脆性材料（拉断） 第三、第四强度理论，适用于塑性材料（屈服、剪断）
2）材料的破坏形式与应力状态有关，也与速度、温度有关.同一种材料在不同情况下， 破坏形式不同,强度理论也应不同.如
低碳钢： 单向受拉时，产生塑性变形 第三、第四强度理论 三向均拉时，产生断裂破坏 第一、第二强度理论 铸铁： 单向受拉时，脆性拉断 第一、第二强度理论
三向均压时，产生屈服破坏 第三、第四强度理论
3）如果考虑材料存在内在缺陷如裂纹，须利用断裂力学中的脆性断裂准则进行计算。 思考题:
1） 水管在寒冬低温条件下，由于管内水结冰引起体积膨胀，而导致水管爆裂。 由作用反作用定律可知，水管与冰块所受的压力相等，试问为什么冰不破裂，而水管 发生爆裂。
答:水管在寒冬低温条件下，管内水结冰引起体积膨胀，水管承受内压而使管壁处于双向拉伸的应力状态下，且在低温条件下材料的塑性指标降低,因而易于发生爆裂；
而冰处于三向压缩的应力状态下，不易发生破裂.例如深海海底的石块，虽承受很大的静 水压力,但不易发生破裂.
2）把经过冷却的钢质实心球体，放人沸腾的热油锅中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。 答:经过冷却的钢质实心球体，放人沸腾的热油锅中, 钢球的外部因骤热而迅速膨胀，其内 芯受拉且处于三向均匀拉伸的应力状态因而发生脆性爆裂。 例2：
已知 ：铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁拉伸许用应力[?t]=30MPa。 试：校核该点的强度。
解：1、计算主应力
?x??y1max??2?2??x??22y??4?xy?29.28MPa.
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?min??x??y2?12??2x??y??4?xy?3.72MPa2?1?29.28MPa ?2?3.72MPa ?3?0脆性断裂，第一强度理论
2、根据材料和应力状态确定破坏形式选择强度理论。 3、
结论：强度是安全的。 例3：
已知：? 和?。
试写出第三强度理论和第四强度理论的表达式。
解：1、确定主应力
?r1??1?29.28MPa ?r1??1?29.28MPa ?30MPa?max?min?2?1?2?4?22?1 ?
2、第三强度理论：
第四强度理论：
?2?1?1?2?4?2 ?2?0 ?3???2?4?2222?r3??1??3??2?4?2?r4?1(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2??2?3?22??.
广义胡克定律 - 图文
