第五讲 集合与逻辑
1.理解集合的概念，会进行集合的运算。 2.了解四种命题的关系，理解充分必要条件。 3.理解且或非，会对一个量词的命题否定。
Venn图表示 符号 表示 4.重要公式 (1)A?A.??A;
一、集合的概念和运算 1．集合的基本概念
(2)若A?B,B?C则A?C; (1)我们把研究对象统称为元素，把一些元素
(3)A∩B=B∩A,A∪B=B∪A; 组成的总体叫做集合．
(4)A∩B?A,A∩B?B,A∩?=?,A∩A=A; (2)集合中元素的特性：确定性，互异性，无
(5)A?A∪B,B?A∪B,A∪?=A,A∪A=A; 序性
(3)集合常用的表示方法：列举法和描述法． *(6) A∪B=A?B?A, A∩B=A?A?B
*(7)A∩?????=?,A∪?????=??,????=??,?????=? 2．常用数集的符号 ???(?????)=?? 正整自然整数有理实数复数数集 *(8)(?????)∩(?????)=???(??∪??), 数集 数集 集 数集 集 集 (?????)∪(?????)=???(??∩??); 符号 *(9)Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)?Card(A∩B) 3.元素与集合、集合与集合之间的关系
二、四种命题及其关系
(1)元素与集合之间存在两种关系：
1.命题的概念 如果a是集合A中的元素，就说a 属于集
一般地，在数学中，我们把用语言、符号或合A，记作?? ∈??；
式子表达的，可以__________的陈述句叫做如果a不是集合A中的元素，就说a不属于
命题，其中__________的语句叫做真命题，集合A，记作?? ???． ____________的语句叫做假命题. 文字语言 符号语言 2.四种命题之间的关系
相集合A与集合B中的所有__________ 等 元素都相同 A＝B 子A中任意一个元素均为B集 中的元素 ________或________ 真A中任意一个元素均为B 子中的元素，且B中至少有________或集 一个元素不是A中的元素 ________ 空空集是任何集合的子集，集 是任何______的真子集 ????， ???? (??≠)
3.充分、必要条件及对应集合之间的关系 设??:??∈??,??:??∈??.
当“若p则q”是真命题，记作：?????. 当?????，且q?p,记作?? ??? p?q ????? p是q的 条件 充分条件 必要条件 对应集合 间的关系 A?B B?A A?B ,B?A A?B, A?B B?A ,A?B A?B,A?B (2)集合与集合之间的关系： 结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有___个． 真子集 个，非空真子集 个。 4．两个集合A与B之间的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 文字 表述 ?????,????? 充分必要 ?????,????? 充分不必要 ?????,????? 必要不充分 既不充分 ?????,????? 也不必要 三、量词、逻辑联结词
1.命题中的“或”“且”“非”称为___________. 2.全称量词
“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做________，通常用符号“______”表示.含有全称量词的命题称为_________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：???∈??，??(??). 3.存在量词
“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做_______，通常用符号“________”表示.含有存在量词的命题称为_________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为：?x0∈M，p(x0). 4.命题的否定 命 题 命题的否定 ???∈??，??(??) ???0∈??，??(??0) ??∧?? ??∨?? 因此，全称命题的否定是________命题；
特称命题的否定是________命题. 5.命题??∧??，??∨??，???的真假判断(真值表) 注：??∧??，??∨??，???统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题． p q ??∧?? ??∨?? ??? 真 真 真 假 假 真 假 假 6.一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表： 正面等于大于小于词语 (＝) (＞) (＜) 是 都是 否定不等于不大于不小于不不都词语 (≠) (≤) (≥) 是 是 正面至多有至少有任意所有词语 一个 一个 的 的 一定 否定至少有一个也某个 某些 不一词语 两个 没有 定 考点一 集合的概念和运算
例1已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则?U(A∪B)＝( ) A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4} 例2设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(?RS)∪T＝( ) A．(－2，1] B．(－∞，－4] C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
例3设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 例4已知集合A＝{x|x＞1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}.若?????，求m的取值范围. 例5设全集U是实数集R，M＝{x|x>2}， N＝{x|1 A．{x|2 1.设集合A={?2,0,2},??={??|??2????2=0},则??∩??=( ) ??.? ??.{2} ??.{0} ??.{?2} 2.已知集合??={??|??≥0,??∈??},??={??|??2<1,??∈??}，则??∩??=（ ） ??.[0,1] ??.(0,1) ??.(0,1] ??.[0,1) 3. 已知集合??为整数集，集合??= {??|(??+1)(???2)≤0}，则??∩??=( ) A．{?1,0} B．{0,1} C．?2,?1,0,1} D．{?1,0,1,2} 4.设全集为??，集合??={??|??2?9<0},??={??|?1 {??|??2?3??+2=0,??∈R},??={??|0 A.1 B.2 C.3 D.4 考点二 命题和条件 例6 已知下列四个命题： ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题； ③“若m≤1，则方程x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题； ④“若A∩B＝B，则?????”的逆否命题. 其中真命题的是_____(填写对应序号即可). 例7设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式练习】 7命题“若α＝π 4，则tanα＝1”的逆否命题是 ( ) A．若α≠π4，tanα≠1 B．若tanα≠1，则α＝π 4 C．若tanα≠1，则α≠π4 D．若α＝π 4，tanα≠1 8.已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________________. 9.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10.设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________. 11.写出下列命题的否定形式和否命题： (1)若xy＝0，则x，y中至少有一个为零； (2)若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零； (3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等； (4)有理数都能写成分数. 考点三 量词、逻辑联结词 例8 命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______ __________. 【变式练习】 12.命题：“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( ) A．对任意x∈R，都有x2<0 B．不存在x∈R，使得x2<0 C．存在x0∈R，使得x20≥0 D．存在x0∈R，使得x20 <0 13.下列命题中的假命题是( ) A．?x∈R，2x－ 1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0C．?x∈R，lgx<1 D．?x∈R，tanx＝2 14.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 例9 已知命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；命题q：存在实数m，使方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求m的取值范围． 15.若命题“?x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________． 【变式练习】 过关检测九 1.已知集合??＝{1,2,3}，??＝{2,3,4}，则( ) A．????? B．????? C．M∩N＝{2，3} D．M∪N＝{1，4} 过关检测十 第1—5小题共用下面几个选项。请选择。 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．设集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝( ) A．{0} B．{0，1} C．{－1，1} D．{－1，0，1} 3.已知三个集合U，A， B及元素间的关系如图所示，则(?UA)∩B＝( ) A．{5，6} B．{3，5，6} C．{3} D．{0，4，5，6，7，8} 4.已知全集??＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,}，集合??＝{0,1,3,5,8}，集合??＝{2,4,5,6,8}，则 (?UA)∩(?UB)＝( ) A．{5，8} B．{7，9} C．{0，1，3} D．{2，4，6} 5.已知集合A＝{x|0 A.(0，1) B.(0，2] C.(1，2) D.(1，2] 6.已知集合??＝{0，1，2}，则集合 B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) A．1 B．3 C．5 D．9 7.已知集合A＝{x|lgx≤0}，B＝{x|2x≤1}，则A∪B＝______. 8.设集M={??|(12) 1??? >1},??＝{??||x－1|≤2}，则N∩(?RM)＝______________. 9．已知全集U＝R，集合A＝??6? ?x|x＋1≥1?? ，集合B＝{x|x2－2x－m＜0}. (1)当m＝3时，求A∩(?UB)； (2)若A∩B＝{x|－1＜x＜4}，求m的值. 1.若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( ) 2.给定两个命题p，q，若?p是q的必要而不充分条件，则p是?q的( ) 3.设a? ,??? 为向量，则“|a? ???? |=|?? ||??? |”是“?? ∥??? ”的（ ） 4.设??,??是实数，则“??>??”是??2>??2的（ ） 5.设??,??∈?? ,则 “??+??>4”是“??>2,且??>2”的（ ） 6.命题“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定是（ ） ??.???∈??,|??|+??2<0 B.???∈??,|??|+??2≤0 ??.???∈??,|??|+??2<0 ??.???∈??,|??|+??2≤0 7.命题“存在??∈??，使得??2+2??+5＝0成立”的否定是____ ____． 8.已知集合??＝{??|??<－3，或??>5}，??＝{??|(??－??)·(??－8)≤0}． (1)求??∩??＝{??|5 9.已知条件??:??(???1)<0;条件??:???1 2 > 0. 如果??或??为真，??且??为假，求实数??的取值范围。
2021年高考数学艺术生百分冲刺第五讲 集合与逻辑（Word无答案） - 图文
